Борнове наближення

Бо́рнове набли́ження — метод розв'язку квантово-механічної задачі розсіювання часток, який зводиться до заміни невідомої хвильової функції в правій частині рівняння Шредінгера в інтегральній формі на відомий вираз.

Наприклад, при розгляді розсіювання безспінових часток, які взаємодіють через потенціал $V(r)$ стаціонарне рівняння Шредінгера можна переписати у вигляді

$\psi (𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}-\frac{\mu }{2\pi {\hslash }^2}\int \frac{\exp (ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}V(r^{\prime })\psi ({𝐫}^{\prime })d^3{r}^{\prime }$,

де $\mu$ — зведена маса, $\hslash$ — приведена стала Планка, $𝐤$ — хвильовий вектор частинки, яка налітає на мішень, $\psi (𝐫)$ — невідома функція.

Невідома хвильова функція входить до правої частини рівняння й стоїть під інтегралом. Це рівняння можна підставити саме в себе, тобто замінити в правій частині під інтегралом хвильову функцію на той вираз, який дає для неї саме рівняння. Як наслідок,

$\psi (𝐫)=e^{i𝐤\cdot 𝐫}-\frac{\mu }{2\pi {\hslash }^2}\int \frac{\exp (ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}V(r^{\prime })e^{i𝐤\cdot {𝐫}^{\prime }}{d}^3{r}^{\prime }+{\left(\frac{\mu }{2\pi {\hslash }^2}\right)}^2\int \int \frac{\exp (ik|𝐫-{𝐫}^{\prime }|)}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}V(r^{\prime })\frac{\exp (ik|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}^{\prime \prime }|)}{|{𝐫}^{\prime }-{𝐫}^{\prime \prime }|}V(r^{\prime \prime })\psi ({𝐫}^{\prime \prime })d^3{r}^{\prime }{d}^3{r}^{\prime \prime }$.

Таку процедуру можна повторювати N разів, отримуючи в правій частині дедалі вищі ступені $V(r)$.

Якщо процедуру обірвати на N-му кроці й відкинути інтеграл із невідомою функцією, то одержимо N-те Борнове наближення для хвильової функції. Обривання процедури зазвичай обґрунтовується або малістю потенціалу $V(r)$ або обмеженістю області його дії.

Найчастіше використовується перше Борнове наближення. Його часто називають просто Борновим наближенням.

Борнове наближення можна використовувати при розсіянні будь-яких хвиль, наприклад, електромагнітних.

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга