Рівняння Нав'є — Стокса

Рівня́ння Нав'є́ — Сто́кса, названі на честь Клода-Луї Нав'є та Габріеля Стокса, описують течію в'язкої рідини або газу. Ці рівняння виникають при застосуванні Другого закону Ньютона до руху рідини,

$\rho (\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯)=-\mathrm{\nabla }p+\eta \mathrm{\Delta }𝐯+(\zeta +\frac{\eta }{3})\mathrm{\nabla }\text{div}𝐯$.

Тут $𝐯$ — поле швидкості рідини, ρ — густина, p — тиск, η — коефіцієнт динамічної в'язкості, ζ — друга в'язкість, $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа.

У випадках, коли в'язкість є функцією тиску й температури рівняння Нав'є-Стокса записується

$\rho (\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k})=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial }{\partial x_k}\left[\eta (\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}{\delta }_{ik}\frac{\partial v_i}{\partial x_i})\right]+\frac{\partial }{\partial x_k}\left(\zeta \frac{\partial v_i}{\partial x_i}\right).$

У рівнянні Нав'є-Стокса 5 невідомих (три компоненти швидкості, густина й тиск), а тому його слід доповнити рівнянням неперервності й рівнянням, яке виражає закон збереження енергії.

Рівняння неперервності:

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\text{div}\rho 𝐯=0.$

Лінеаризовані рівняння Нав'є — Стокса називаються рівняннями Стокса і описують потік Стокса.

Див. також

• Рівняння Бюргерса
• Виведення рівняння Нав'є — Стокса
• RANS

Посилання

• По дорозі до Нав'є — Стокса

Джерела

• Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1983. 528 с.
• Шаблон:Фіхтенгольц.укр