Теорема Безу

Теорема Безу — теорема про остачу від ділення многочлена на двочлен, названа на честь французького математика Етьєна Безу.

Формулювання

Остача від ділення многочлена $P(x)$ на двочлен $(x-a)$ дорівнює $P(a)$. Також многочлен степеня n над полем C буде мати не більше за n коренів.

Наслідок

• Число a є коренем многочлена $P(x)$ тоді й лише тоді, коли $P(x)$ ділиться без остачі на двочлен $(x-a)$.

Доведення теореми Безу

Якщо ділення многочлена $P(x)$ на двочлен $(x-a)$ дає остачу $R$ ($R=\text{const}$), тоді $P(x)$ можна записати у вигляді

$P(x)=(x-a)Q(x)+R$,

де $Q(x)$ — многочлен нижчого степеня ($\mathrm{deg}Q(x)<\mathrm{deg}P(x)$)

Значення $P(x)$ в точці $a$ дорівнює $P(a)=(a-a)Q(a)+R=R$, що й треба довести.

$P(a)=0$ (тобто число a є корнем многочлена) тоді й тільки тоді, коли $R=0$.

Див. також

• Основна теорема алгебри

Джерела

• Шаблон:Завало.Елементи аналізу. Алгебра многочленів.
• Шаблон:Прасолов.Многочлени