Степінь многочлена

Степінь многочлена — це найбільший із степенів всіх членів многочлена. Іноді степінь многочлена також називають порядком многочлена.

Приклади

• Многочлен $3-5x+2x^5-7x^9$ має степінь 9.
• Многочлен $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ має степінь 3.
• Многочлен $(3z^8+z^5-4z^2+6)+(-3z^8+8z^4+2z^3+14z)$ має степінь 5.

Щоб визначити степінь многочлена, його потрібно звести до канонічного вигляду, тобто розкрити всі дужки у виразі та звести подібні члени, тобто знайти суму коефіцієнтів при членах однакового степеня. Зазвичай (але не обов'язково) члени також впорядковуються за спаданням степенів. Наприклад, зведемо до канонічного вигляду вищенаведені многочлени:

• для $3-5x+2x^5-7x^9$ після зміни порядку матимемо $-7x^9+2x^5-5x+3$;
• для $(y-3)(2y+6)(-4y-21)$ після розкриття дужок та зведення членів з однаковим степенем матимемо $-8y^3-42y^2+72y+378$;
• для $(3z^8+z^5-4z^2+6)+(-3z^8+8z^4+2z^3+14z)$ два подібні члени степеня 8 зникають, маємо $z^5+8z^4+2z^3-4z^2+14z+6$.

Поведінка при додаванні, відніманні та множенні

Степінь суми (або різниці) двох многочленів або дорівнює найбільшому із степенів доданків, або менший від нього у випадку, коли члени з найбільшими степенями зникають.

$\mathrm{deg}(P+Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q))$.

$\mathrm{deg}(P-Q)\le \max (\mathrm{deg}(P),\mathrm{deg}(Q))$.

Наприклад:

• Степінь $(x^3+x)+(x^2+1)=x^3+x^2+x+1$ дорівнює 3.

Зауважте, що 3 ≤ max(3,2)

• Степінь $(x^3+x)-(x^3+x^2)=-x^2+x$ дорівнює 2.

Зауважте, що 2 ≤ max(3,3)

Степінь добутку двох многочленів дорівнює сумі їхніх степенів

$\mathrm{deg}(PQ)=\mathrm{deg}(P)+\mathrm{deg}(Q)$.

Наприклад:

• Степінь $(x^3+x)(x^2+1)=x^5+2x^3+x$ дорівнює 3+2 = 5.

Степінь нульового многочлена

Многочлен $f(x)=0$ називають нульовим многочленом. Він не має жодного члена, тому, строго кажучи, він не має степеня. Вищенаведені правила про степені сум та добутків не можна застосовувати, якщо один з многочленів є нульовим.

Однак є зручним визначити степінь нульового многочлена як мінус нескінченність, $-\mathrm{\infty }$, і домовитися, що

$\max (a,-\mathrm{\infty })=a$,

і

$a+-\mathrm{\infty }=-\mathrm{\infty }$.

Наприклад:

• Степінь суми $(x^3+x)+(0)=x^3+x$ дорівнює 3.

Зауважте, що $3\le \max (3,-\mathrm{\infty })$.

• Степінь різниці $x-x=0$ дорівнює $-\mathrm{\infty }$.

Зауважте, що $-\mathrm{\infty }\le \max (1,1)$.

• Степінь добутку $(0)(x^2+1)=0$ дорівнює $(-\mathrm{\infty })+2=-\mathrm{\infty }$.

Узагальнення на випадок многочленів з кількома змінними

Для многочленів з кількома змінними степінь члена визначається як сума степенів змінних, що входять до цього члена; тоді степінь многочлена знову-таки визначається як максимум із степенів всіх його членів. Наприклад, многочлен $x^2{y}^2+3x^3+4y$ має степінь 4 - це степінь члена $x^2{y}^2$.

Формули для степенів суми, різності й добутку многочленів залишаються справедливими для многочленів з кількома змінними.

Назви многочленів за степенем

• Степінь 1 - лінійний многочлен
• Степінь 2 - квадратичний многочлен
• Степінь 3 - кубічний многочлен

Джерела

• Степінь - Орфографічний академічний словник української мови