Хвильовий вектор

Хвильови́й ве́ктор — векторна величина, яка визначає напрямок і характерний розмір періодичності монохроматичної плоскої хвилі. Позначається латинською літерою $𝐤$ й вимірюється в обернених сантиметрах(см^-1).

Рівняння хвилі можна записати як:

$𝐮(𝐫,t)=Acos(𝐤\mathbf{\cdot }𝐫-\omega t+\varphi )$,

Де $A$ — амплітуда хвилі, $\varphi$ — початкова фаза, $\omega$ — кутова частота.

Величина $𝐮$ в цьому випадку є довільною величиною, що змінюється в просторі і часі — це може бути зміщення точок з положення рівноваги, напруженість електричного або магнітного поля, тощо.

Зв'язок з іншими величинами

Модуль хвильового вектора називається хвильовим числом. Воно пов'язане з довжиною хвилі λ співвідношенням:

$k=\frac{2\pi }{\lambda }$.

Таким чином хвильове число є просторовим аналогом кутової частотиШаблон:Sfn.

У напрямку хвильового вектора фаза хвилі змінюється найшвидше (якщо "зафіксувати" час). Математично це можна також записати як:

$𝐤=\mathrm{\nabla }\varphi$

Швидкість руху фази хвилі (фазова швидкість) у цьому напрямку навпаки є мінімальною, і дорівнює:

$v_{ph}=\omega /k$

Імпульс квантових хвиль дорівнює:

$𝐩=\hslash 𝐤$

Складні хвилі

Квазігармонічні хвилі (такі хвилі подібні до гармонічних у масштабі одного періоду, але з часом їх амплітуда повільно змінюється), наприклад, биття, можна описати, вводячи локальний хвильовий вектор $𝐤(𝐫,t)$ як градієнт фази і частоту $\omega (𝐫,t)$ як часткову похідну фази по часу. Проте такий опис можливий лише якщо амплітуда, частота і напрям хвилі змінюються достатньо повільно. Обмежуючі критерії можна записати наступними рівняннями:

$\frac{1}{\omega A}\frac{\partial A}{\partial t}\ll 1,\frac{1}{kA}|\mathrm{\nabla }A|\ll 1,\frac{1}{{\omega }^2}\frac{\partial \omega }{\partial t}\ll 1,\frac{1}{\omega k}|\mathrm{\nabla }\omega |\ll 1,\frac{1}{k_i{k}_j}\frac{\partial k_i}{\partial k_j}\ll 1$

Напрямок перенесення енергії такою хвилею може не збігатися з хвильовим вектором і навіть бути напрямленим у протилежну сторону, наприклад у випадку аномальної дисперсії.

У випадку експоненційно згасаючих хвиль, хвильовий вектор є комплексною величиною. Прикладом таких хвиль є електромагнітні хвилі під час проходження через речовинуШаблон:Sfn.

Також, електромагнітні хвилі часто описуються хвильовим 4-вектором, просторові компоненти якого збігаються зі звичайним хвильовим вектором, а часова дорівнює $\omega /c$.

У випадку не плоских хвиль хвильовий вектор зазвичай не використовується. Так, сферична хвиля розповсюджується в усі сторони, тому в її рівнянні фігурує хвильове число а не хвильовий векторШаблон:Sfn:

$𝐮(r,t)=\frac{A}{r}cos(kr-\omega t)$,

де r — відстань від джерела хвилі.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга