Матриці Дірака

Матриці Дірака — матриці 4-го рангу, які використовуються у рівнянні Дірака.

Визначення

Матриці Дірака визначаються так

$\hat{\beta }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ 0& -I\end{array}\right)$,

${\hat{\alpha }}_x=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \widehat{{\sigma }_x}\\ {\hat{\sigma }}_x& 0\end{array}\right)$,

${\hat{\alpha }}_y=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& -i& 0& 0\\ i& 0& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& {\hat{\sigma }}_y\\ {\hat{\sigma }}_y& 0\end{array}\right)$,

${\hat{\alpha }}_z=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& \widehat{{\sigma }_z}\\ {\hat{\sigma }}_z& 0\end{array}\right)$,

де I — одинична матриця, ${\hat{\sigma }}_i$ — матриці Паулі.

Гамма-матриці

Окрім цих матриць, використовуються також гамма-матриці. Існує деяка розбіжність щодо позначень. В «нерелятивістських» позначеннях вони мають вигляд

${\gamma }_{\mu }=-i\beta {\alpha }_{\mu }$ для $\mu =1,2,3$

та ${\gamma }_4=\beta$.

В релятивістських позначеннях використовується індекс 0 замість індекса 4. Тоді контраваріантна форма матриць Дірака

${\gamma }^0=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),{\gamma }^1=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ -1& 0& 0& 0\end{array}\right)$

${\gamma }^2=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& -i\\ 0& 0& i& 0\\ 0& i& 0& 0\\ -i& 0& 0& 0\end{array}\right),{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& -1\\ -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right).$

В таких позначеннях матриці складають 4-вектор. Коваріантну форму можна знайти опусканням індекса, використовуючи метричний тензор простору Мінковського.

П'ята матриця Дірака вводиться як

${\gamma }^5:=i{\gamma }^0{\gamma }^1{\gamma }^2{\gamma }^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right)$

Навіть коли індекс 4 не використовується, ця матриця має номер 5.

Джерела

• Шаблон:Книга