Вінерівський процес

Вінерівський процес в теорії випадкових процесів — це стохастичний процес з неперервним часом, що математично виражає випадкові блукання. Названий на честь Норберта Вінера. Це один з найбільш відомих процесів Леві (càdlàg стохастичний стаціонарний процес з незалежними приростами) і часто зустрічається в чистій та прикладній математиці, економіці, фінансовій математиці і фізиці.

Вінерівський процес відіграє важливу роль у чистій та прикладній математиці. В чистій математиці, вінерівський процес породив вивчення мартингалів з неперервним часом.

Означення

Випадковий процес $({\xi }_t),t\in [0,+\mathrm{\infty })$ називається вінерівським, якщо:

• 1. Цей процес є процесом з незалежними приростами.
• 2. Для всіх $t_1,t_2,s\in [0,+\mathrm{\infty })$ має місце слідування: $t_1<t_2\to ℒ({\xi }_{t_2+s}-{\xi }_{t_1+s})=ℒ({\xi }_{t_2}-{\xi }_{t_1})$ (тобто випадкові величини ${\xi }_{t_2+s}-{\xi }_{t_1+s}$ і ${\xi }_{t_2}-{\xi }_{t_1}$ однаково розподілені).
• 3. Для всіх $\omega \in \mathrm{\Omega }$ буде ${\xi }_0(\omega )=0$ (процес починається в нулі).
• 4. При $h\to 0$:

• $M{\xi }_h=ah+o(h)$;
• $M{\xi }_h^2=bh+o(h)$;
• $M|{\xi }_h{|}^3=o(h)$;

де $a\in ℝ,b>0$ — параметри, що визначають процес.

Головна властивість

Якщо $({\xi }_t),t\in [0,+\mathrm{\infty })$ — вінерівський процес, то для всіх $t\in [0,+\mathrm{\infty }]$ буде ${\xi }_t\simeq N(at,bt)$ (при фіксації часу випадкова величина ${\xi }_t$ має нормальний розподіл з параметрами at, bt).

Література

1. С. Карлин. Основы теории случайных процессов. М. — 1971.

2. Леоненко М.М., Мішура Ю.С., Пархоменко В.М., Ядренко М.Й. Теоретико-ймовірнісні та статистичні методи в економетриці та фінансовій математиці. -К.: Інформтехніка, 1995.

Див. також

• Випадковий процес
• Норберт Вінер

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Гихман.Скороход.Введение в теорию случайных процессов