Формула Кардано

Фо́рмула Карда́но — це формула для аналітичного розв'язку канонічного кубічного рівняння виду $x^3+px+q=0$. Вона має вигляд:

$x_1{=}^3\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}{+}^3\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.$

$x_{2,3}=-\frac{1}{2}({}^3\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}{+}^3\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.)\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}({}^3\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}{-}^3\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}.)$

Названа на честь італійського математика Джироламо Кардано, який і опублікував її вперше в 1545. Одразу після публікації Нікколо Тарталья звинуватив Кардано в плагіаті: останній у трактаті «Ars Magna» розкрив алгоритм розв'язання кубічних рівнянь, що його довірив йому Тарталья в 1539 році під обіцянку не публікувати. Хоча Кардано не приписував алгоритм собі і чесно повідомив у книзі, що авторами є Сціпіон дель Ферро і Тарталья, алгоритм сьогодні відомий під незаслуженою назвою «формула Кардано».

Виведення формули Кардано

Нехай дано рівняння $x^3+px+q=0$

Будемо шукати його розв'язок у вигляді $x=u+v.$

Отримаємо рівняння

$u^3+v^3+(3uv+p)(u+v)+q=0.$

Введемо додаткову умову для змінних $3uv+p=0,$

утворену систему $\{\begin{array}{c}{u}^3+v^3=-q\\ u^3{v}^3=-\frac{p^3}{27}\end{array}$ розв'яжемо за допомогою формули Вієта для квадратного рівняння і отримаємо:

$\{\begin{array}{c}{u}^3=-\frac{q}{2}-\sqrt{D}\\ v^3=-\frac{q}{2}+\sqrt{D}\end{array}$, де $D=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}$ — дискримінант кубічного рівняння, звідки

$\{\begin{array}{c}u={}^3\sqrt{-\frac{q}{2}-\sqrt{D}}\\ v={}^3\sqrt{-\frac{q}{2}+\sqrt{D}}\end{array}$

Розв'язок рівняння подається у вигляді $x=u+v$. В комплексних числах кубічний корінь має 3 різних значення. Для отримання розв'язків потрібно вибирати такі пари значень кубічного кореня, щоб $uv=-\frac{p}{3}$. Таких пар обов'язково знайдеться рівно 3.

Див. також

• Кубічне рівняння
• Дискримінант
• Джироламо Кардано

Література

• Шаблон:Корн.Корн.Справочник
• Шаблон:Книга