Повний метричний простір

Означення

Метричний простір називається повним, якщо у ньому будь-яка фундаментальна послідовність є збіжною.

Критерій повноти метричного простору

Для того, щоб метричний простір був повним необхідно і достатньо, щоб у ньому будь-яка послідовність замкнених вкладених одна в одну куль, радіуси яких прямують до нуля, мала непорожній перетин.

Приклади повних метричних просторів

• Метричний простір $({ℝ}^n,\rho ),\rho (x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-y_i{)}^2}$ (тобто з евклідововою метрикою). Коротке позначення цього простору: ${ℝ}^n$.

• Метричний простір $({ℝ}^n,\rho ),\rho (x,y)=\sum _{i=1}^n|x_i-y_i|$. Коротке позначення цього простору: ${ℝ}_1^n$.

• Метричний простір $({ℝ}^n,\rho ),\rho (x,y)=\underset{i}{\max }|x_i-y_i|$. Коротке позначення цього простору: ${ℝ}_{\mathrm{\infty }}^n$.

• Метричний простір $(X,\rho ),X=\{x=(x_1,x_2,...,x_n,...):\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n<+\mathrm{\infty },x_n\in ℝ,n\in \mathbb{N}\},\rho (x,y)=\sqrt{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(x_i-y_i{)}^2}$. Коротке позначення цього простору: $l_2$.

• Метричний простір $(C[a,b],\rho )$, де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — чебишовська (рівномірна) метрика, тобто $\rho (x(t),y(t))=\underset{t\in [a,b]}{\max }|x(t)-y(t)|$. Коротке позначення цього простору: C[a,b].

Приклад неповного метричного простору

• Метричний простір (C[a,b],d), де C[a,b] — множина всіх неперервних на відрізку [a,b] функцій, а $\rho$ — метрика, означена рівністю: $\rho (x(t),y(t))=\sqrt{\underset{a}{\overset{b}{\int }}(x(t)-y(t){)}^{2}dt}$. Коротке позначення цього простору: $C_2[a,b]$.

Джерела

• Шаблон:Банах. КФА Лінійні операції
• Шаблон:Березанський.Ус.Шефтель
• Шаблон:Бурбакі.Загальна топологія.г1-2
• Шаблон:Ляшко.Ємельянов.Боярчук.Математичний аналіз.ч1
• Шаблон:Ахієзер.Глазман.ТЛОвГП.т1
• Функціональний аналіз, спеціальність «Прикладна математика». Лекція № 7. Повні метричні простори. Кафедра обчислювальної математики факультету кібернетики КНУШаблон:Ref-uk