Трикутник Паскаля

Перші п'ять рядів трикутника Паскаля

Трикутник Паскаля — це геометрично, на зразок трикутника, розміщені біноміальні коефіцієнти. Це математичне поняття названо на честь Блеза Паскаля. Таку назву вживають переважно в західному світі, адже математики Індії, Персії, Китаю та Італії знали цей трикутник ще за кілька століть перед Паскалем.

Ряди трикутника Паскаля умовно пронумеровані згори, починаючи з нульового, й числа в нижньому ряді відносно чисел у попередньому ряді завжди розміщені ступінчасто й навскіс. Побудувати цей трикутник просто. Кожне число в кожному ряді одержуємо, додавши два числа, розміщені вгорі (зліва і справа). Якщо зліва або справа немає числа, підставляємо нуль на його місце. Наприклад, перше число в першому ряді 0 + 1 = 1, тоді як числа 1 і 3 в третьому ряді утворюють число 4 в четвертому ряді: 1 + 3 = 4.

Правило Паскаля стверджує: якщо

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

k-й біноміальний коефіцієнт в біноміальному ряді для (x + y)ⁿ, тоді

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})$

для будь-якого додатного цілого n і будь-якого цілого k між 0 і n.

Шаблони і властивості

Трикутник Паскаля має багато властивостей і містить багато числових шаблонів.

Кожен кадр представляє рядок трикутника Паскаля. Кожен стовпчик - це число у двійковому вигляді з найменш значимим бітом внизу. Світлі пікселі представляють одинички і темні - нулі.

Рядки

• Сума елементів кожного рядка є подвоєна сума попереднього. Це тому, що кожен елемент рядка творить два елементи наступного рядка. Сума елементів рядка Шаблон:Mvar дорівнює Шаблон:Math.
• Добуток елементів рядка, послідовність таких добутків Шаблон:OEIS стосується основи натурального логарифма, e. А саме, визначимо послідовність s_n так:

$s_n=\prod _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\prod _{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!},n\ge 0.$

Тоді співвідношення послідовних добутків рядків є

$\frac{s_{n+1}}{s_n}=\frac{(n+1){!}^{(n+2)}\prod _{k=0}^{n+1}k{!}^{-2}}{n{!}^{(n+1)}\prod _{k=0}^{n}k{!}^{-2}}=\frac{(n+1{)}^n}{n!}$

і співвідношення цих співвідношень є

$\frac{(s_{n+1})(s_{n-1})}{(s_n{)}^2}={\left(\frac{n+1}{n}\right)}^n,n\ge 1.$

Правий бік цього рівняння набуває форми визначення e через границю

$\mathit{\text{e}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n.$

• Значення рядка, якщо кожен елемент розглядати як десятковий розряд ( і числа більші ніж 9 переносити відповідно) є степенем 11 ( Шаблон:Math, для рядка Шаблон:Mvar). Отже, у рядку 2, Шаблон:Math стає 11², тоді як Шаблон:Math у п'ятому рядку стає (після перенесень) 161,051, тобто 11⁵. Цю властивість пояснюють встановлюючи Шаблон:Math у біноміальному розкладі Шаблон:Math, і припасовуючи значення до десяткової системи. Але Шаблон:Mvar можна обрати так, щоб рядки представляли значення в будь-якій основі.
  • У трійковій: Шаблон:Math
  • Шаблон:Math
  • За основою 9: Шаблон:Math
  •               Шаблон:Math
  • Шаблон:Math

  Зокрема, для Шаблон:Math значення в позиціях залишаються сталими (1^{позиція}=1). Отже, їх можна просто додати.

• Сума квадратів елементів рядка Шаблон:Mvar дорівнює середньому елементу рядка Шаблон:Math. Наприклад, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. У загальній формі:

$\sum _{k=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}).$

• Іншим цікавим шаблоном є те, що для будь-якого рядка Шаблон:Mvar, де Шаблон:Mvar є парним, середній елемент мінус елемент на дві позиції ліворуч дорівнює числу Каталана, а саме Шаблон:Mathму числу Каталана. Наприклад: на четвертому рядку, Шаблон:Math, що є третім числом Каталана і Шаблон:Math.
• Також цікавою властивістю є те, що в рядку Шаблон:Mvar де Шаблон:Mvar це просте число, всі елементи рядка діляться на Шаблон:Mvar. Це можна легко довести, оскільки якщо $p\in \mathbb{P}$, тоді Шаблон:Mvar не має дільників окрім 1 і себе. Кожен елемент трикутника це ціле число, тоді за визначенням $(p-k)!$ і $k!$ це дільники $p!$. Однак, власне Шаблон:Mvar не може з'явитись у дільнику, отже Шаблон:Mvar (або його кратне) повинно залишитись у чисельнику.
• Парність: Щоб порахувати кількість непарних чисел у рядку Шаблон:Mvar, переведіть Шаблон:Mvar у двійкову систему. Нехай Шаблон:Mvar буде кількістю одиничок у двійковому представленні. Тоді кількість непарних елементів буде Шаблон:Math.
• Кожен елемент у рядку 2ⁿ-1, n ≥ 0, є непарним.
• Полярність: Інший цікавий шаблон, кожен парний рядок трикутника Паскаля дорівнює нулю, якщо взяти середній елемент, потім відняти цілі наступні біля центрального, тоді додати наступні цілі і т.д. Приклад, рядок 4 такий, 1 4 6 4 1, отже формула буде така 6 - (4+4) + (1+1) = 0, рядок 6 такий 1 6 15 20 15 6 1, тому маємо 20 - (15+15) + (6+6) - (1+1) = 0.

Діагоналі

Діагоналі трикутника Паскаля містять фігурні числа сімплексів:

• Діагоналі уздовж лівого і правого ребер містять лише 1-ці.
• Наступні діагоналі містять натуральні числа по порядку.
• Рухаючись далі, наступна пара діагоналей містить трикутні числа по порядку.
• Наступна пара діагоналей містить тетраедричні числа по порядку і наступна дає числа п'ятиклітинника.

Загальні шаблони і властивості

Трикутник Серпінського

• Шаблон отриманий фарбуванням лише непарних чисел у трикутнику Паскаля дуже нагадує фрактал відомий як трикутник Серпінського. Ця схожість стає все більш точною з додаванням нових рядків; при переході до границі, коли кількість рядків наближається до нескінченності, результовний шаблон є трикутником Серпінського. Загальніше, числа можна розфарбовувати різноманітно, відповідно до того чи діляться вони на 3, 4 і т.д.; це дає подібні шаблони.

Трикутник Паскаля викладений на шахівниці дає кількість відмінних шляхів до кожної комірки, якщо дозволені лише кроки праворуч і додолу.

• Якщо рядки трикутника Паскаля вирівняти по лівому боку, тоді діагональні смуги (виділені кольором) сумуються у числа Фібоначчі.

1
1	1
1	2	1
1	3	3	1
1	4	6	4	1
1	5	10	10	5	1
1	6	15	20	15	6	1
1	7	21	35	35	21	7	1

Біноміальні коефіцієнти

Трикутник Паскаля визначає коефіцієнти, що виникають при біноміальному розкладі. Наприклад:

(a + b)² = a² + 2ab + b² = 1a²b⁰ + 2a¹b¹ + 1a⁰b².

Звернемо увагу, що утворені коефіцієнти - це числа в другому рядку трикутника Паскаля. Зазвичай, коли ми підносимо до цілого додатнього степеня n поліном вигляду (a + b) ми маємо:

(a + b)ⁿ = c₀aⁿ + c₁aⁿ⁻¹b + c₂aⁿ⁻²b² + ... + c_n−1abⁿ⁻¹ + c_nbⁿ,

де коефіцієнти c_i - це числа в n-му рядку трикутника Паскаля. Іншими словами: $c_i=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i}).$ Можна побачити, що ми отримали біноміальну теорему. Звернемо увагу, що вся діагональ трикутника справа відповідає коефіцієнту перед bⁿ, наступна діагональ відповідає коефіцієнту перед abⁿ⁻¹ і так далі. Для того щоб побачити, як біноміальна теорема безпосередньо відноситься до трикутника Паскаля розглянемо як рахуються коефіцієнти перед елементом (a + 1)ⁿ (де b = 1 ).

$(a+1{)}^n=\sum _{i=0}^n{c}_i{a}^i.$

Розглянемо:

$(a+1{)}^{n+1}=(a+1)(a+1{)}^n=a(a+1{)}^n+(a+1{)}^n=\sum _{i=0}^n{c}_i{a}^{i+1}+\sum _{i=0}^n{c}_i{a}^i.$

Ці дві суми можуть бути записані наступним чином:

$\begin{array}{cc}& \sum _{i=0}^n{c}_i{a}^{i+1}+\sum _{i=0}^n{c}_i{a}^i=\\ & =\sum _{i=1}^{n+1}{c}_{i-1}{a}^i+\sum _{i=0}^n{c}_i{a}^i\\ & =\sum _{i=1}^n{c}_{i-1}{a}^i+\sum _{i=1}^n{c}_i{a}^i+c_0{a}^0+c_n{a}^{n+1}\\ & =\sum _{i=1}^n(c_{i-1}+c_i)a^i+c_0{a}^0+c_n{a}^{n+1}\\ & =\sum _{i=1}^n(c_{i-1}+c_i)a^i+a^0+a^{n+1}\end{array}$

Тепер ми маємо вираз для многочленів вигляду (a + 1)ⁿ⁺¹ в термінах коефіцієнтів для (a + 1)ⁿ.Це і є те, що нам потрібно.

Нагадаємо, що всі числа на діагоналі, що йдуть від верхнього лівого до нижнього правого відповідають коефіцієнтам біля bⁿ. Звідси маємо, що для того щоб знайти будь-який не нульовий або (n+1) коефіцієнт необхідно просумувати елементи які знаходяться у рядку вище зліва та справа. Це основне правило побудови трикутника Паскаля. Цікавим є те, що якщо ми візьмемо a та b рівними одиниці, то (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ. Звідси маємо:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=2^n.$

Іншими словами сума елементів в n-му рядку трикутника Паскаля дорівнює $2^n.$

Див. також

• Центральний біноміальний коефіцієнт

Посилання

• Шаблон:Mathworld