Оператор кутового моменту

"Векторні конуси" загального кутового моменту J (фіолетовий), орбіти L (синій) та спіна S(зелений). Конуси виникають через квантову невизначеність між вимірюванням компонентів кутового моменту (see below).

У цій стоячій хвилі на круговій струні коло розбивається рівно на 8 довжин хвилі. Така стояча хвиля може мати 0, 1, 2 або будь-яке ціле число довжин хвиль по колу, але вона не може мати неціле число довжин хвиль, таких як 8.3. У квантовій механіці кутовий момент квантується з подібної причини.

Ілюстрація векторної моделі орбітального кутового моменту.

Різні типи оператори обертання. У верхній рамці зображено дві частинки, зі спіновими станами, схематично позначеними стрілками. Шаблон:Ordered list

Опера́тор моме́нту кі́лькості ру́ху або кутового моменту — це квантово-механічний аналог класичного поняття моменту кількості руху.

Побудова і означення

Для побудови квантово-механічного оператора кутового моменту частки виходять із класичного виразу

$𝐋=[𝐫\times 𝐩]$,

де $𝐫$ — радіус вектор частки, а $𝐩$ — її імпульс. При переході до квантової механіки проводять заміну імпульсу на квантовомеханічий оператор імпульсу $-i\hslash \mathrm{\nabla }$. Тоді компоненти оператора кількості руху мають наступну форму

${\hat{L}}_x=-i\hslash (y\frac{\partial }{\partial z}-z\frac{\partial }{\partial y})$,

${\hat{L}}_y=-i\hslash (z\frac{\partial }{\partial x}-x\frac{\partial }{\partial z})$,

${\hat{L}}_z=-i\hslash (x\frac{\partial }{\partial y}-y\frac{\partial }{\partial x})$.

Визначені таким чином оператори є ермітовими.

Комутаційні співвідношення

Компоненти оператора кутового моменту задовільняють наступним комутаційним співвідношенням

$[{\hat{L}}_x,{\hat{L}}_y]=i\hslash {\hat{L}}_z$,

$[{\hat{L}}_y,{\hat{L}}_z]=i\hslash {\hat{L}}_x$,

$[{\hat{L}}_z,{\hat{L}}_x]=i\hslash {\hat{L}}_y$.

Оскільки вони не комутують між собою, то згідно із принципом невизначеності не можуть бути виміряні одночасно. Якщо відоме точне значення одного з них, то невизначеність двох інших буде абсолютною.

Власні функції та власні значення

З огляду на некомутативність компонент, вони не мають спільних власних функцій. В сферичній системі координат найпростіший вигляд має компонента $L_z$, тож здебільшого шукають її власні функції.

Власними функціями компоненти $L_z$ є комплексні експоненти виду $e^{im\phi }$ , де m — ціле число, яке пробігає значення від $-\mathrm{\infty }$ до $\mathrm{\infty }$.

${\hat{L}}_z{e}^{im\phi }=-i\hslash \frac{\partial }{\partial \phi }{e}^{im\phi }=\hslash m{e}^{im\phi }$.

Власні значення оператора ${\hat{L}}_z$ дорівнюють $\hslash m$. Число m називається магнітним квантовим числом. Така назва зумовлена тим, що вперше магнітне квантове число ввели для інтерпретації розщеплення спектральних ліній у магнітному полі (Зееманівське розщеплення).

Оператор квадрата кутового моменту

Важливе значення у квантовій механіці посідає оператор квадрата кутового моменту

${\widehat{𝐋}}^2={\hat{L}}_x^2+{\hat{L}}_y^2+{\hat{L}}_z^2$.

В сферичні системі координат він має вигляд

${\widehat{𝐋}}^2=-{\hslash }^2(\frac{1}{\sin \theta }\frac{\partial }{\partial \theta }\sin \theta \frac{\partial }{\partial \theta }+\frac{1}{{\sin }^2\theta }\frac{{\partial }^2}{\partial {\phi }^2})$.

Цей оператор комутує з будь-якою з компонент оператора кутового моменту.

Власні функції та власні значення оператора квадрата кутового моменту

Завдяки комутативності оператора квадрата кутового моменту ${\widehat{𝐋}}^2$ із ${\hat{L}}_z$, ці два оператори мають спільну систему власних функцій. Квадрат кутового моменту може бути визначеними одночасно із z-вою компонентою.

Власними функціями оператора квадрата кутового моменту є сферичні гармоніки $Y_{l,m}(\theta ,\phi )$.

Власні значення оператора квадрата кутового моменту дорівнюють ${\hslash }^{2}l(l+1)$, де l — ціле число, яке пробігає значення від нуля до нескінченості. Це квантове число називається орбітальним квантовим числом.

${\widehat{𝐋}}^{2}Y(\theta ,\phi )={\hslash }^{2}l(l+1)Y(\theta ,\phi )$.

Із теорії сферичних гармонік відомо, що магнітне квантове число m за абсолютною величиною не може бути більшим за l. Тому кожному орбітальному квантовому числу l відповідає 2l+1 різних магнітних квантових числа: m = -l, -l+1…l-1, l.

Див. також

• Спін
• Матриці Паулі
• Сферичні гармоніки
• Оператор повного моменту

Джерела

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга