Групова алгебра

Термін групова алгебра застосується до кількох щільно пов'язаних кілець, що можуть бути утворені з довільної групи $G$. За допомогою поняття групової алгебри вдається звести чимало питань стосовно груп та, напередусім, їх зображень, до відповідних питань про кільця.

Групова алгебра скінченої групи

Припустимо, що $G$ — це скінчена група. Її групова алгебра $\mathbb{Z}[G]$ — це асоціативне кільце, що складається з формальних виразів

$\sum _{g\in G}{a}_{g}g,a_g\in \mathbb{Z},$

які додаються покомпонентно і для добутку яких виконується співвідношення

$g\cdot h=gh,$

де у лівій частині розглядається добуток елементів $g=1\cdot g,h=1\cdot h\in \mathbb{Z}[G]$, а в правій частині — добуток $g$ та $h$ у $G.$ Одиниця групової алгебри — це елемент $e=1\cdot e,$ що походить з нейтрального елемента групи $G.$ Аксіоми кільця в $\mathbb{Z}[G]$ випливають із означення, асоціативності множення та властивостей одиниці в групі $G.$ Кільце $\mathbb{Z}[G]$ — комутативне тоді і тільки тоді, коли $G$ — комутативна група. Загальнішим чином, групова алгебра $𝕂[G]$ для довільного кільця $𝕂$ складається з лінійних комбінацій елементів $G$ з коефіцієнтами з $𝕂.$

Категорна характеризація

Групова алгебра може бути цілком охарактеризована своєю універсальною властивістю. А саме, для будь-якого кільця $R$ і гомоморфізма $\varphi$ групи $G$ у мультиплікативну групу $R$, існує єдиний гомоморфізм $\tilde{\varphi }:\mathbb{Z}[G]\to R,$ що продовжує $\varphi ,$тобто задовольняє

$\tilde{\varphi }(g)=\varphi (g)$

для будь-якого елемента $g\in G,$ який у лівий частині останньої тотожності розглядається як елемент $1\cdot g\in \mathbb{Z}[G]$. Це — надзвичайно корисна властивість групової алгебри, тому що завдяки їй, будь-яке зображення групи $G$ еквівалентне до модуля над груповою алгеброю $\mathbb{Z}[G].$ Зокрема, методи теорії кілець можуть бути застосовані до винаходження степенів і характерів незвідних і нерозкладних зображень $G$.

Впровадження групової алгебри також дозволяє дослідити залежність категорії зображень групи $G$ над кільцем $𝕂$ від $𝕂.$ Якщо, наприклад, маємо до мети зосередитися на дійсних зображеннях $G$, то потрібно розширите кільце коефіцієнтів до $ℝ,$ а якщо бажаємо вивчати зображення над скінченим полем ${𝔽}_p$ із $p$ елементів, то обираємо за кільце коефіцієнтів ${𝔽}_p$ (замість $\mathbb{Z}$).

Групова алгебра локально-компактної топологічної групи

Означення групової алгебри можна поширити на випадок довільної (взагалі, нескінченої) групи $G,$ якщо у наведеному вище означенні обмежитися скінченими лінійними комбінаціями елементів $G$ (тобто, $a_g=0$ за винятком скінченої підмножини $g\in G$). Але більш змістовним є означення групової алгебри, що бере до уваги топологію групи $G,$ і таке, що спроваджується універсальна властивість щодо неперервних гомоморфізмів $G$ у певний клас топологічних кілець $R$ (порів. вище). Зокрема, кільце $\mathbb{Z}$ цілих чисел поширюється до поля $ℂ$ комплексних чисел. У випадку локально компактної топологічної групи, групова алгебра утворюється за кілька стадій. Спочатку розглядається банахова алгебра $L^1(G,dg)$ інтегрованих за Лебегом функцій на $G$. Додавання функцій поточкове, як і раніше, а от добуток визначається як згортка функцій:

$(f_1*f_2)(g)=\underset{G}{\int }{f}_1(h)f_2(h^{-1}g)dh,$

де $dg$ — це ліва міра Хаара на $G.$ Таким чином отримуємо топологічну *-алгебру, з інволюцією

$f^{*}(g)={\mathrm{\Delta }}_G(g)\overline{f(g^{-1})},$

де ${\mathrm{\Delta }}_G(g)$ — це модулярна функція міри Хаара. А далі ця алгебра поповнюється до C*-алгебри $C^{*}(G)=C^{*}(L^1(G,dg)).$

Див. також

• Групове кільце

Література

• Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М, Наука, 1978.