Метод Рунге — Кутти

Шаблон:Диференціальні рівняння Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядку

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

${\mathbf{\text{y}}}^{\prime }=\mathbf{\text{f}}(x,\mathbf{\text{y}}),\mathbf{\text{y}}(x_0)={\mathbf{\text{y}}}_0$.

Тоді значення невідомої функції в точці $x_{n+1}$ обчислюється відносно значення в попередній точці $x_n$ за формулою:

${\mathbf{\text{y}}}_{n+1}={\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{6}({\mathbf{\text{k}}}_1+2{\mathbf{\text{k}}}_2+2{\mathbf{\text{k}}}_3+{\mathbf{\text{k}}}_4)$,

$x_{n+1}=x_n+h$

де $h$ — крок інтегрування, а коефіцієнти ${\mathbf{\text{k}}}_n$ розраховуються таким чином:

${\mathbf{\text{k}}}_1=\mathbf{\text{f}}(x_n,{\mathbf{\text{y}}}_n),$

${\mathbf{\text{k}}}_2=\mathbf{\text{f}}(x_n+\frac{h}{2},{\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{2}{\mathbf{\text{k}}}_1),$

${\mathbf{\text{k}}}_3=\mathbf{\text{f}}(x_n+\frac{h}{2},{\mathbf{\text{y}}}_n+\frac{h}{2}{\mathbf{\text{k}}}_2),$

${\mathbf{\text{k}}}_4=\mathbf{\text{f}}(x_n+h,{\mathbf{\text{y}}}_n+h{\mathbf{\text{k}}}_3).$

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить $O(h^5)$, а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною $O(h^4)$.

Прямі методи Рунге — Кутти

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Наближення задається формулами

${\mathbf{\text{y}}}_{n+1}={\mathbf{\text{y}}}_n+h\sum _{i=1}^s{b}_i{\mathbf{\text{k}}}_i,$

де

${\mathbf{\text{k}}}_1=\mathbf{\text{f}}(x_n,{\mathbf{\text{y}}}_n),$

${\mathbf{\text{k}}}_2=\mathbf{\text{f}}(x_n+c_{2}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{21}h{\mathbf{\text{k}}}_1),$

${\mathbf{\text{k}}}_3=\mathbf{\text{f}}(x_n+c_{3}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{31}h{\mathbf{\text{k}}}_1+a_{32}h{\mathbf{\text{k}}}_2),$

$⋮$

${\mathbf{\text{k}}}_s=\mathbf{\text{f}}(x_n+c_{s}h,{\mathbf{\text{y}}}_n+a_{s1}h{\mathbf{\text{k}}}_1+a_{s2}h{\mathbf{\text{k}}}_2+\cdots +a_{s,s-1}h{\mathbf{\text{k}}}_{s-1}).$

Конкретний метод визначається числом $s$ і коефіцієнтами $b_i,a_{ij}$ і $c_i$. Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

	0
	$c_2$	$a_{21}$
	$c_3$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$⋮$	$⋮$		$\ddots$
	$c_s$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_1$	$b_2$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_s$

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови $\sum _{j=1}^{i-1}{a}_{ij}=c_i$ для $i=\overline{2,s}$.

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок $p$, то варто так само забезпечити умову $\overline{\mathbf{\text{y}}}(h+x_0)-\mathbf{\text{y}}(h+x_0)=O(h^{p+1}),$ де $\overline{\mathbf{\text{y}}}(h+x_0)$ — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування $h$) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці $h$.

Нехай похибка має порядок $k$. Наближене значення $y(x),$ обчислене у точці $x$ із величиною кроку $h$, позначається $Y(x,h).$ Тоді у точці $x=x_0+2nh$

$y(x)-Y(x,h)\approx A2n{h}^{k+1}-A(x-x_0)h^k,y(x)-Y(x,2h)\approx An(2h{)}^{k+1}=A(x-x_0)2^k{h}^k,$

тобто $Y(x,2h)-Y(x,h)\approx A(x-x_0)(1-2^k)h$ та, відповідно,

$y(x)-Y(x,h)\approx \frac{Y(x,h)-Y(x,2h)}{2^k-1}.$

Помилка при кроці $h$ виражається через наближені значення при кроках $h$ та $2h.$

Багатокрокові методи використовують для обчислення наступного значення $y_{j+1}$ лише інформацію з напівінтервалу $[y_j,y_{j+1})$. Багатокрокові методи базуються на заміні диференціального рівняння

$y(x)-f(x,y(x))=0,y(a)=s$

за сталого кроку $h$ різницевим рівнянням порядку $k$

$\sum _{j=0}^k{a}_j^{(k)}y-h\sum _{j=0}^k{b}_j^{(k)}f(x_{k+j},y_{k+j})=0,a_k^{(k)}\ne 0,(a_0^{(k)}{)}^2+(b_0^{(k)}{)}^2\ne 0,n=0,1,...,$

$y_0=s,y_1,...,y_{k-1}$ - задані значення.

Кожний спосіб такого типу визначається поліномами

$p_k(z)=a_k^{(k)}{z}^k+a_{k-1}^{(k)}{z}^{k-1}+...+z_0^{(k)},{\sigma }_k(z)=b_k^{(k)}{z}^k+b_{k-1}^{(k)}{z}^{k-1}+...b_0^{(k)}.$

Якщо степінь ${\sigma }_k$ менше степені $p_k,$ то говорять про явний (або відчинений) метод, якщо степені рівні, то про неявний (зачинений).

Приклад розв'язання в середовищі MATLAB

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. також

• Метод Ейлера
• Метод Адамса
• Метод Хенрічі
• Метод Мілна

Література

• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).