Середня кривина

У диференціальній геометрії середня кривина поверхні в точці — це середнє арифметичне всіх головних кривин у цій точці.

Середня кривина належить до зовнішньої геометрії поверхні: якщо змінити напрямок нормалі поверхні, то її середня кривина змінить знак на протилежний.

Обчислення

Нехай Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar — матриці першої та другої квадратичних форм поверхні в точці Шаблон:Mvar відповідно, тобто Шаблон:Center

Тоді середня кривина Шаблон:Mvar в точці Шаблон:Mvar дорівнює половині сліду матриці $D^{- 1} B,$ а саме

H = \frac{E N - 2 M F + G L}{2 (E G - F^{2})} .

Якщо поверхня задана явно рівнянням $z = f (x, y),$ то

H = \frac{(1 + f_{y}^{2}) f_{x x} - 2 f_{x} f_{y} f_{x y} + (1 + f_{x}^{2}) f_{y y}}{2 {(1 + f_{x}^{2} + f_{y}^{2})}^{\frac{3}{2}}}

.

Мінімальна поверхня

Шаблон:Main Поверхня, яка має нульову середню кривину в кожній своїй точці, називається мінімальною.

Якщо поверхня має найменшу площу серед усіх поверхонь, натягнутих на один і той самий контур, то вона є мінімальною.