Сепаратриса (математика)

У математиці сепаратриса (від Шаблон:Langx — окремо) — це межа, що розділяє два режими поведінки, що описуються диференціальними рівняннями.

Іншими словами:

Сепаратриса — це фазова траєкторія, що розмежовує інші траєкторії різного фазового типу.

Приклади

Простий маятник

Розглянемо диференціальне рівняння, що описує рух простого маятника:

$\frac{d^2\theta }{d{t}^2}+\frac{g}{\ell }\sin \theta =0.$

де $\ell$ — довжина маятника, $g$ — прискорення сили тяжіння і $\theta$ — кут між маятником і вертикаллю вниз. У цій системі існує збережувана величина $H$ (гамільтоніан), яка визначається як

$H=\frac{{\dot{\theta }}^2}{2}-\frac{g}{\ell }\cos \theta .$

З цим визначенням можна побудувати траєкторію константи $H$ у фазовому просторі системи. Фазовий простір являє собою графік із $\theta$ по горизонтальній осі і $\dot{\theta }$ по вертикальній осі — див. рисунок праворуч. Тип отриманої траєкторії залежить від значення $H$.

Фазовий простір для простого маятника

Якщо $H<-\frac{g}{\ell }$, то траєкторії не існує (оскільки $\dot{\theta }$ має бути уявним).

Якщо $-\frac{g}{\ell }<H<\frac{g}{\ell }$, то траєкторія буде простою замкнутою кривою, яка є майже колом для малих $H$ і набуває форми «ока», коли $H$ наближається до верхньої межі. Ці траєкторії відповідають маятнику, який періодично коливається з боку в бік.

Якщо $\frac{g}{\ell }<H$, то траєкторія незамкнута, і це відповідає маятнику, який вічно коливається повними колами.

У цій системі сепаратрисою є крива, яка відповідає $H=\frac{g}{\ell }$. Вона розділяє фазовий простір на дві окремі області, кожна з яких має свій тип руху. Область усередині сепаратриси містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають маятнику, що коливається вперед і назад, тоді як область поза сепаратрисою містить усі траєкторії фазового простору, які відповідають безперервному обертанню маятника по колу у вертикальних площинах.

Модель Фіцг'ю — Нагумо

Коли $b=2,I_{ext}=3.5$, ми можемо легко побачити сепаратрису та два басейни притягання, розв'язавши траєкторії назад у часі.

У моделі Фітцг'ю — Нагумо, коли лінійна Шаблон:Нп пронизує кубічну нулькліну на лівій, середній і правій гілках по одному разу, система має сепаратрису. Траєкторії ліворуч від сепаратриси збігаються до лівої стійкої рівноваги, і аналогічно для правої. Сама сепаратриса є Шаблон:Нп для сідлової точки в середині.

Сепаратрису можна чітко побачити шляхом чисельного розв'язання траєкторій назад у часі. Оскільки при розв'язуванні траєкторій уперед у часі вони розходяться від сепаратриси, то при розв'язанні назад у часі траєкторії збігаються до сепаратриси.

Література

• Logan, J. David, Applied Mathematics, 3rd Ed. , 2006, John Wiley and Sons, Hoboken, NJ, pg. 65.

Посилання

• Шаблон:MathWorld