Многочлен HOMFLY

У математичній теорії вузлів многочлен HOMFLY або многочлен HOMFLYPT (іноді, узагальнений многочлен Джонса) — многочлен вузла з 2 змінними, тобто інваріант вузла у формі многочлена змінних m і l.

Центральним питанням математичної теорії вузлів є те, чи дві діаграми вузлів представляють один і той самий вузол. Один із інструментів для відповідей на такі запитання — многочлен вузла: його обчислюють за діаграмою вузла і можна показати, що він є інваріантом вузла, тобто діаграми, що представляють той самий вузол, мають однаковий многочлен. Обернене може бути хибним. Многочлен HOMFLY є одним із таких інваріантів, він узагальнює два раніше відкриті многочлени, многочлен Александера та многочлен Джонса, які можна отримати з HOMFLY відповідними замінами. Многочлен HOMFLY також є квантовим інваріантом.

Назва HOMFLY поєднує в собі ініціали його співвідкривачів: Джима Госте (Jim Hoste), Шаблон:Нп, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп, Шаблон:Нп та Девіда Єттера (David N. Yetter). Додаток PT вказує на незалежний внесок Шаблон:Нп і Павла Трачика (Paweł Traczyk).

Визначення

Многочлен визначають за допомогою скейн-співвідношення:

$P(\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{t})=1,$

$P(L)=\frac{-(\ell +{\ell }^{-1})}{m}P(L_1)P(L_2).$

де $L_{+},L_{-},L_0$ — зачеплення, утворені перетином та згладжуванням у локальній ділянці діаграми зачеплення, як показано на малюнку.

Многочлен HOMFLY зачеплення L, яка є розділеним об'єднанням двох зачеплень $L_1$ і $L_2$ має вигляд

$\ell P(L_{+})+{\ell }^{-1}P(L_{-})+mP(L_0)=0,$

На сторінці про скейн-співвідношення є приклад обчислення з використанням таких співвідношень.

Інші скейн-співвідношення HOMFLY

Цей многочлен можна також отримати, використовуючи інші скейн-співвідношення:

$\alpha P(L_{+})-{\alpha }^{-1}P(L_{-})=zP(L_0),$

$xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_0)=0,$

Основні властивості

$P(L_1\mathrm{\#}{L}_2)=P(L_1)P(L_2),$де # позначає суму вузлів; таким чином, поліном HOMFLY складеного вузла є добутком многочленів HOMFLY його компонентів.

$P_K(\ell ,m)=P_{\text{Mirror Image}(K)}({\ell }^{-1},m),$тому многочлен HOMFLY часто можна використати для розрізнення двох вузлів різної хіральності. Однак існують хіральні пари вузлів, які мають однаковий многочлен HOMFLY, наприклад вузли 9₄₂ і 10₇₁ разом із відповідними дзеркальними зображеннями.

Многочлен Джонса, V (t), і многочлен Александера, $\mathrm{\Delta }(t)$ можна обчислити через многочлен HOMFLY (версія зі змінними $\alpha$ і $z$):

$V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),$

$\mathrm{\Delta }(t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),$

Література

• Шаблон:Нп, Formal knot theory, Princeton University Press, 1983.
• Шаблон:Нп An Introduction to Knot Theory. Спрингер.Шаблон:ISBNISBN 0-387-98254-X.

Посилання

• «Jones-Conway polynomial», Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Шаблон:MathWorld
• The HOMFLY-PT Polynomial, The Knot Atlas.