Рівняння Гамільтона — Якобі

Шаблон:Фізична теорія Рівня́ння Гамільто́на — Я́кобі — рівняння у часткових похідних, яке повністю визначає еволюцію гамільтонової системи класичної механіки.

Рівняння формулюється так:

$\frac{\partial S}{\partial t}+\mathscr{H}(q_i,\frac{\partial S}{\partial q_i},t)=0$.

Тут $\mathscr{H}(q_i,p_i,t)$ — функція Гамільтона для системи із узагальненими координатами $q_i$ і узагальненими імпульсами $p_i$, де $i$ пробігає значення від одиниці до кількості ступенів свободи гамільтонової системи $n$.

Визначення еволюції узагальнених координат та імпульсів

$S$ — це функція узагальнених координат $q_i$ і часу, яка має розмірність дії.

Рівняння Гамільтона — Якобі це рівняння в часткових похідних першого порядку відносно функції $S$. Його розв'язок залежить від $f$ параметрів інтегрування, які можна позначити $Q_i$. Запишемо цей розв'язок у вигляді $S(t,q_i,Q_i)$. Тоді еволюція узагальнених змінних системи визначається з розв'язку такої системи алгебраїчних рівнянь:

$p_i=\frac{\partial S(t,q_i,Q_i)}{\partial q_i}$

$P_i=-\frac{\partial S(t,q_i,Q_i)}{\partial Q_i}$

де $P_i$ — це ще $n$ нових параметрів інтегрування.

Теорія відносності

Для вільної частинки в теорії відносності рівняння Гамільтона — Якобі має вигляд:

$\frac{1}{c^2}{\left(\frac{\partial S}{\partial t}\right)}^2-{\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)}^2-{\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)}^2-{\left(\frac{\partial S}{\partial z}\right)}^2=m^2{c}^2$,

де с — швидкість світла в порожнечі

Загальна теорія відносності

У рамках загальної теорії відносності в рівнянні Гамільтона — Якобі враховується загальний вираз для метрики простору-часу і рівняння набирає вигляду

$g^{ij}\frac{\partial S}{\partial x^i}\frac{\partial S}{\partial x^j}+m^2{c}^2=0$.

Метрика простору-часу $g_{ij}$ визначається в загальному випадку також гравітаційними полями, тож це рівняння справедливе не лише для вільної частинки, а й для частинки в гравітаційному полі.

Значення

Рівняння Гамільтона — Якобі загалом інтегрувати складніше, ніж вихідні рівняння гамільтонової механіки, проте воно є зручним засобом для побудови наближень.

Загальний вигляд рівняння Гамільтона — Якобі нагадує квантовомеханічне рівняння Шредінгера. Доведено, що для макроскопічних тіл рівняння Шредінгера зводиться до класичного рівняння Гамільтона — Якобі (дивіться Квазікласичне наближення).

Див. також

• Механіка Гамільтона
• Механіка Лагранжа

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга