Інтерполяція Ерміта

Інтерполяція Ерміта — поліноміальна інтерполяція запропонована Шарлем Ермітом, узагальнює інтерполяцію Лагранжа.

Інтерполяція Ерміта, як і інтерполяція Ньютона використовує розділені різниці.

Інтерполяція Ерміта будує многочлен мінімально-можливого степеня, що співпадає із заданою функцією в Шаблон:Math точках, а також співпадіння Шаблон:Math перших похідних в цих точках. Тобто, вхідними даними є Шаблон:Math значень:

$\begin{array}{cccc}(x_0,y_0),& (x_1,y_1),& \dots ,& (x_n,y_n),\\ (x_0,{y_0}^{\prime }),& (x_1,{y_1}^{\prime }),& \dots ,& (x_n,{y_n}^{\prime }),\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ (x_0,y_0^{(m)}),& (x_1,y_1^{(m)}),& \dots ,& (x_n,y_n^{(m)})\end{array}$.

Отриманий многочлен буде мати степінь не більше Шаблон:Math. Також можна задавати меншу (різну) кількість відомих похідних в кожній точці.

Метод

В послідовності $x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n$, продублюємо кожне значення Шаблон:Math разів і назвемо її

$z_0,z_1,\dots ,z_{(n+1)(m+1)-1}$

і будемо рахувати розділені різниці для них. Хоча деякі з них будуть невизначенностями

$z_i=z_{i+1}⟹f[z_i,z_{i+1}]=\frac{f(z_{i+1})-f(z_i)}{z_{i+1}-z_i}=\frac{0}{0}$.

Ці невизначеності замінимо на $f^{\prime }(z_i)$.

Різниці вищих порядків (j > 2) зі співпадаючими точками замінимо на похідні вищих порядків за правилом:

$\frac{f^{(j)}(x_i)}{j!}.$

Приклад

Наблизимо функцію $f(x)=x^8+1$. Обчислимо значення та 2 перші похідні для $x\in \{-1,0,1\}$, отримаємо:

Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math	Шаблон:Math
−1	2	−8	56
0	1	0	0
1	2	8	56

Потроїмо точки $\{z_i\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}$. Обчислимо таблицю розділених різниць: $\begin{array}{cccccccccc}{z}_0=-1& f[z_0]=2& & & & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_0)}{1}=-8& & & & & & & \\ z_1=-1& f[z_1]=2& & \frac{f^{″}(z_1)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_1)}{1}=-8& & f[z_3,z_2,z_1,z_0]=-21& & & & & \\ z_2=-1& f[z_2]=2& & f[z_3,z_2,z_1]=7& & 15& & & & \\ & & f[z_3,z_2]=-1& & f[z_4,z_3,z_2,z_1]=-6& & -10& & & \\ z_3=0& f[z_3]=1& & f[z_4,z_3,z_2]=1& & 5& & 4& & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_3)}{1}=0& & f[z_5,z_4,z_3,z_2]=-1& & -2& & -1& \\ z_4=0& f[z_4]=1& & \frac{f^{″}(z_4)}{2}=0& & 1& & 2& & 1\\ & & \frac{f^{\prime }(z_4)}{1}=0& & f[z_6,z_5,z_4,z_3]=1& & 2& & 1& \\ z_5=0& f[z_5]=1& & f[z_6,z_5,z_4]=1& & 5& & 4& & \\ & & f[z_6,z_5]=1& & f[z_7,z_6,z_5,z_4]=6& & 10& & & \\ z_6=1& f[z_6]=2& & f[z_7,z_6,z_5]=7& & 15& & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_6)}{1}=8& & f[z_8,z_7,z_6,z_5]=21& & & & & \\ z_7=1& f[z_7]=2& & \frac{f^{″}(z_7)}{2}=28& & & & & & \\ & & \frac{f^{\prime }(z_7)}{1}=8& & & & & & & \\ z_8=1& f[z_8]=2& & & & & & & & \end{array}$

і побудуємо многочлен

$\begin{array}{cc}P(x)& =2-8(x+1)+28(x+1{)}^2\\ & -21(x+1{)}^3+15x(x+1{)}^3\\ & -10x^2(x+1{)}^3+4x^3(x+1{)}^3\\ & -1x^3(x+1{)}^3(x-1)+x^3(x+1{)}^3(x-1{)}^2\\ & =x^8+1.\end{array}$

взявши коефіцієнти з діагоналі (зверху), домноживши їх на $\prod _{i=0}^{k-1}(x-z_i)$, як і в многочленах Ньютона.

Див. також

• Кубічні сплайни Ерміта
• Поліноми Бернштейна