Арифметико-геометрична прогресія

Шаблон:Числення Арифметико-геометрична прогресія — в математиці, це послідовність, що є результатом покомпонентного множення членів арифметичної та геометричної прогресій. Члени прогресії:

\begin{matrix} t_{1} & = A_{1} G_{1} = a b \\ t_{2} & = A_{2} G_{2} = (a + d) b r \\ t_{3} & = A_{3} G_{3} = (a + 2 d) b r^{2} \\ ⋮ \\ t_{n} & = A_{n} G_{n} = [a + (n - 1) d] b r^{n - 1} \end{matrix}

Сума ряду

Сума перших Шаблон:Math членів ряду

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} t_{k} = \sum_{k = 1}^{n} [a + (k - 1) d] b r^{k - 1} = a b + [a + d] b r + [a + 2 d] b r^{2} + \dots + [a + (n - 1) d] b r^{n - 1} .

\begin{matrix} S_{n} & = \frac{a b - (a + n d) b r^{n}}{1 - r} + d b r \frac{1 - r^{n}}{(1 - r)^{2}} \\ = \frac{A_{1} G_{1} - A_{n + 1} G_{n + 1}}{1 - r} + d r \frac{G_{1} - G_{n + 1}}{(1 - r)^{2}} . \end{matrix}

Обчислимо Шаблон:Math, і використаємо техніку телескопічних рядів:

\begin{matrix} S_{n} - r \cdot S_{n} = & [a + (a + d) r + (a + 2 d) r^{2} + \dots + [a + (n - 1) d] r^{n - 1}] \\ - [a r + (a + d) r^{2} + (a + 2 d) r^{3} + \dots + [a + (n - 1) d] r^{n}] \\ = & a + d (r + r^{2} + \dots + r^{n - 1}) - [a + (n - 1) d] r^{n} \\ = & a + d r (1 + r + r^{2} + \dots + r^{n - 1}) - (a + n d) r^{n} \\ = & a + \frac{d r (1 - r^{n})}{1 - r} - (a + n d) r^{n}, \end{matrix}

в передостанній строці використали формулу суми геометричної прогресії.

при −1 < r < 1, ряд є збіжним з сумою

\begin{matrix} S & = \sum_{k = 1}^{\infty} t_{k} = \lim_{n \to \infty} S_{n} \\ = \frac{a b}{1 - r} + \frac{d b r}{(1 - r)^{2}} \\ = \frac{A_{1} G_{1}}{1 - r} + \frac{d G_{1} r}{(1 - r)^{2}} . \end{matrix}