Правило частки при диференціюванні

Шаблон:Числення Правило частки — формула для знаходження похідної частки двох функцій.

Якщо $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, обидві функції Шаблон:Mvar та Шаблон:Mvar є диференційовними і $g(x)\ne 0.$ Правило знаходження похідної Шаблон:Math :

$h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}.$

Приклади

• $\frac{d}{dx}\left(\frac{e^x}{x^2}\right)=\frac{\left(\frac{d}{dx}{e}^x\right)(x^2)-(e^x)\left(\frac{d}{dx}{x}^2\right)}{(x^2{)}^2}=\frac{(e^x)(x^2)-(e^x)(2x)}{x^4}=\frac{e^x(x-2)}{x^3}.$

• $\begin{array}{c}\frac{d}{dx}\tan x=\frac{d}{dx}\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)=\frac{(\frac{d}{dx}\sin x)(\cos x)-(\sin x)(\frac{d}{dx}\cos x)}{{\cos }^{2}x}\\ =\frac{(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x.\end{array}$

Правило оберненої функції

Шаблон:Main Є частковим випадком частки при $f(x)=1$:

$h^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0\cdot g(x)-1\cdot g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Використовуючи диференціювання складеної функції отримаємо такий же результат.

Доведення

з використанням границь

Для $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$:

$$\begin{array}{cc}{h}^{\prime }(x)& =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{h(x+k)-h(x)}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{k}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k\cdot g(x)g(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{1}{g(x)g(x+k)}\\ & =\underset{k\to 0}{\lim }\left[\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x+k)}{k}\right]\cdot \frac{1}{g(x{)}^2}\\ & =[\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)g(x)-f(x)g(x)}{k}-\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x)g(x+k)-f(x)g(x)}{k}]\cdot \frac{1}{g(x{)}^2}\\ & =[\underset{k\to 0}{\lim }\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\cdot g(x)-f(x)\cdot \underset{k\to 0}{\lim }\frac{g(x+k)-g(x)}{k}]\cdot \frac{1}{g(x{)}^2}\\ & =\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.\end{array}$$.

з диференціюванням добутку

Якщо $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$ тоді $f(x)=g(x)h(x).$

Використаємо правило добутку $f^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)h(x)+g(x)h^{\prime }(x).$

Виразимо $h^{\prime }(x)$ та підставимо $h(x)$:

$h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)h(x)}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)\cdot \frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

з диференціюванням оберненої та складеної функцій

Для $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot \frac{1}{g(x)}$, використаємо диференціювання оберненої та складеної функцій:

$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)\cdot \frac{1}{g(x)}+f(x)\cdot \left[\frac{-g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}\right]=\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

з диференціюванням логарифмів

Для $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$ Візьмем логарифми обох частин

$\ln |h(x)|=\ln \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|=\ln |f(x)|-\ln |g(x)|$

Візьмем логарифмічну похідну обох частин:

$\frac{h^{\prime }(x)}{h(x)}=\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$

Виразимо $h^{\prime }(x)$ і підставимо $h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$:

$h^{\prime }(x)=h(x)[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}]=\frac{f(x)}{g(x)}[\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}]=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$

Похідна другого порядку

Правило добутку дозволяє обчислити похідні вищих порядків. Наприклад, для $f=gh$ друга похідна $f^{″}=g^{″}h+2g^{\prime }{h}^{\prime }+g{h}^{″}$ дає

$h^{″}=\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{″}-g^{″}h-2g^{\prime }{h}^{\prime }}{g}.$

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр