Еквівалентність рядків

У лінійній алгебрі дві матриці є еквівалентними за рядками, якщо одна з них може бути замінена на іншу послідовністю елементарних операцій над рядками. Навпаки, дві $m$×$n$ матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків. Концепція найчастіше застосовується щодо матриць, які представляють системи лінійних рівнянь, і в цьому випадку дві матриці однакового розміру є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли відповідні однорідні системи мають однаковий набір розв'язків, або еквівалентно матриці мають однаковий нульовий простір.

Оскільки елементарні операції над рядками є оборотними, еквівалентність рядків є відношенням еквівалентності. Його зазвичай позначають тильдою (~).

Існує аналогічне поняття еквівалентності стовпців, яке визначається елементарними операціями над стовпцями; дві матриці є еквівалентними за стовпцями тоді й лише тоді, коли відповідні транспоновані матриці є еквівалентними за рядками. Дві прямокутні матриці, які можуть бути перетворені одну на іншу, дозволяючи як елементарні операції над рядками, так і над стовпцями, називаються просто еквівалентними.

Елементарні операції з рядками

Елементарне перетворення рядка — це будь-яка із наступних дій:

1. Зміна місцями: поміняти місцями два рядки матриці.
2. Масштаб: помножити рядок матриці на ненульову константу.
3. Порядкове додавання: додати домножений на число один рядок матриці до іншого рядка.

Дві матриці $A$ і $B$ є еквівалентами за рядками, якщо можна перетворити матрицю $A$ на матрицю $B$ за допомогою послідовності елементарних операцій над рядками.

Простір рядків

Шаблон:Main Простір рядків матриці — це множина всіх можливих лінійних комбінацій її вектор-рядків. Якщо рядки матриці являють собою систему лінійних рівнянь, тоді простір рядків складається з усіх лінійних рівнянь, які можна алгебраїчно вивести з рівнянь системи. Дві $m$×$n$ матриці є еквівалентними рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків.

Наприклад, матриці

$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\text{та}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$

є еквівалентними за рядками, простір рядків — це всі вектори вигляду $\left(\begin{array}{ccc}a& b& b\end{array}\right)$. Відповідні системи однорідних рівнянь містять ту ж саму інформацію:

$\begin{array}{c}x=0,\\ y+z=0\end{array}\text{та}\begin{array}{c}x=0,\\ x+y+z=0.\end{array}$

Зокрема, з обох цих систем випливає рівняння вигляду $ax+by+bz=0$.

Еквівалентність визначень

Факт того, що дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий простір рядків, є важливою теоремою лінійної алгебри. Доказ базується на таких спостереженнях:

1. Елементарні операції над рядками не впливають на простір рядків матриці. Зокрема, будь-які дві еквівалентні за рядками матриці мають однаковий простір рядків.
2. Будь-яку матрицю можна звести елементарними операціями над рядками до матриці у скороченій формі рядків.
3. Дві матриці у скороченій формі рядків мають однаковий простір рядків тоді й лише тоді, коли вони рівні.

Цей алгоритм міркувань також доводить, що кожна матриця та унікальна матриця, зі скороченою формою ешелону рядка, є еквівалентними за рядками.

Додаткові властивості

• Оскільки нульовий простір матриці є ортогональним доповненням простору рядків, дві матриці є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли вони мають однаковий нульовий простір.
• Ранг матриці дорівнює розмірності простору рядків, тому еквівалентні за рядками матриці повинні мати однаковий ранг. Він дорівнює кількості Шаблон:Нп у формі ешелону скороченого ряду.
• Матриця є невиродженою тоді й лише тоді, коли вона є еквівалентною за рядками з одиничною матрицею.
• Матриці $A$ і $B$ є еквівалентними за рядками тоді й лише тоді, коли існує невироджена матриця $P$ така, що $A=PB$.

Див. також

• Елементарні операції з рядками
• Простір рядка
• Базис (лінійна алгебра)
• Скорочення рядків
• (Зменшена) рядова ешелонна форма

Література

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Cite book