Теорема Ліндемана — Веєрштрасса

Теорема Ліндемана — Веєрштрасса, яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить трансцендентність великого класу чисел. Теорема стверджує таке:Шаблон:РамкаЯкщо ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ — різні алгебричні числа, лінійно незалежні над $\mathbb{Q}$, то $e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n}$ є алгебрично незалежними над $\mathbb{Q}$, тобто, степінь трансцендентності розширення $\mathbb{Q}(e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n})$ дорівнює $n$ Шаблон:/рамкаЧасто використовується еквівалентне формулювання:Шаблон:РамкаДля будь-яких різних алгебричних чисел ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ числа $e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n}$ є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел $\bar{\mathbb{Q}}$. Шаблон:/рамка

Історія

1882 року Ліндеман довів, що $e^{\alpha }$ трансцендентне для будь-якого ненульового алгебричного $\alpha$, а 1885 року Карл Веєрштрасс довів загальніше твердження, наведене вище.

З теореми Ліндемана — Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел e і π.

Доведення трансцендентності π

Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що число $\pi$ є алгебричним. Тоді число $i\pi$, де $i$ — уявна одиниця, також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана — Веєрштраса $e^{i\pi }$ трансцендентне, проте, згідно з тотожністю Ейлера, воно дорівнює алгебричному числу $-1$, що викликає суперечність. Отже, число $\pi$ трансцендентне.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга