Розподіл Ерланга

Розподіл Ерланга — двопараметричне сімейство абсолютно неперервних розподілів, визначених для $x\in [0,\mathrm{\infty })$. Параметрами розподілу є:

• $k\in \mathbb{N}$ — параметр форми,
• $\lambda \in (0,\mathrm{\infty })$ — коефіцієнт норми. Іноді використовується обернений параметр $\beta =\frac{1}{\lambda }$ — коефіцієнт масштабу.

Розподіл Ерланга — це розподіл суми $k$ незалежних однаково експоненційно розподілених випадкових величин з параметром $1/\lambda$. Еквівалентним твердженням є те, що це розподіл часу до $k$-тої події пуассонівського процесу з параметром $\lambda$. Розподіли Ерланга та Пуассона є взаємнодоповнюючими: розподіл Пуассона підраховує кількість подій, що відбудуться за фіксований проміжок часу, а розподіл Ерланга підраховує кількість часу до появи фіксованої кількості подій. При $k=1$, розподіл Ерланга збігається з експоненційним розподілом. Розподіл Ерланга — окремий випадок гамма-розподілу з натуральними значеннями параметру форми $k$.

Випадкова величина $\xi$, що має розподіл Ерланга позначається наступним чином: $\xi \sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$.

Названий на честь данського математика та інженера Шаблон:Нп, який використовував розподіл для вивчення кількості телефонних дзвінків, які можуть бути здійснені одночасно до операторів телефонної станції. Ця робота з Шаблон:Нп була розширена для оцінки часу очікування в теорії черг загалом. Також розподіл використовується в площині випадкових процесів.

Опис

Щільність розподілу

Випадкова величина $\xi$ має розподіл Ерланга з параметром норми $\lambda \ge 0$ порядку $k\in \mathbb{N}$, якщо її щільність має вигляд:

$f_{\xi }(x)=\frac{{\lambda }^k{x}^{k-1}{e}^{-\lambda x}}{(k-1)!}{\mathrm{𝟏}}_{[0,+\mathrm{\infty })}(x).$

Альтернативна (але еквівалентна) параметризація використовує коефіцієнт масштабу $\beta$, який є оберненим до параметру норми (тобто $\beta =1/\lambda$), в такому випадку щільність розподілу має вигляд:

$f_{\xi }(x)=\frac{x^{k-1}{e}^{-\frac{x}{\beta }}}{{\beta }^k(k-1)!}{\mathrm{𝟏}}_{[0,+\mathrm{\infty })}(x).$

При $\beta =2$, розподіл Ерланга збігається з хі-квадрат розподілом з $2k$ ступенями свободи. Тому його можна розглядати як Шаблон:Нп для парної кількості ступенів свободи.

Функція розподілу ймовірностей

Розподіл Ерланга має таку функцію розподілу ймовірностей:

$F(x)=P(k,\lambda x)=\frac{\gamma (k,\lambda x)}{\mathrm{\Gamma }(k)}=\frac{\gamma (k,\lambda x)}{(k-1)!},$

де $\gamma$ — нижня неповна гамма-функція, а $P$ — нижня регуляризована гамма-функція.

Функція розподілу також може бути записана в такій формі:

$F(x)=1-\sum _{n=0}^{k-1}\frac{1}{n!}{e}^{-\lambda x}(\lambda x{)}^n.$

Медіана

Відомий асимптотичний розклад для медіани розподілу Ерланга з визначеними межами та обчислюваними параметрами. Наближене значення такого розкладу буде дорівнювати $\frac{k}{\lambda }(1-\frac{1}{3k+0.2}),$ тобто менше за математичне сподівання $\frac{k}{\lambda }.$

Генерація випадкових величин з розподілом Ерланга

Випадкова величина з розподілом Ерланга $\xi \sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$ може бути згенерована з $k$ рівномірно розподілених випадкових величин ${\eta }_i\sim U[0,1],i=\overline{1,k}$ за наступною формулою:

$\xi =-\frac{1}{\lambda }\ln \prod _{i=1}^k{\eta }_i=-\frac{1}{\lambda }\sum _{i=1}^k\ln {\eta }_i$

Застосування

Час очікування

Незалежні випадкові події, які відбуваються з деякою середньою швидкістю моделюються за допомогою пуассонівського процесу. Час очікування між $k$ такими подіями має розподіл Ерланга (тоді як кількість подій, що відбулися за певний проміжок часу, розподілена за Пуассоном).

Розподіл Ерланга, який вимірює час між вхідними дзвінками, може бути використаний разом з очікуваною тривалістю вхідних дзвінків для отримання інформації про навантаження трафіку, що вимірюється в Шаблон:Нп. Це може бути використано для визначення ймовірності втрати або затримки пакетів, згідно з припущеннями щодо того чи заблоковані виклики перериваються (формула Erlang B) чи стовляться у чергу до обслуговування (формула Erlang C). Формули Шаблон:Нп та Шаблон:Нп досі використовуються для моделювання трафіку, наприклад при розробці дизайну кол-центрів.

Інші застосування

Віковий розподіл захворюваності на рак часто відповідає розподілу Ерланга, де параметри форми та масштабу передбачають кількість рушійних подій та часовий інтервал між ними, відповідно. У ширшому сенсі, розподіл Ерланга був запропонований як хороше наближення розподілу часу клітинного циклу, в результаті багатоступеневих моделей.

Він також використовувався в бізнес-економіці для опису часу між закупівлями.

Властивості

• Якщо $\xi \sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$, то $a\cdot \xi \sim \mathrm{Erlang}(k,\frac{\lambda }{a})$ для $a\in ℝ$
• Якщо $\xi \sim \mathrm{Erlang}(k_1,\lambda )$, $\eta \sim \mathrm{Erlang}(k_2,\lambda )$ і $\xi ,\eta$ — незалежні, то $\xi +\eta \sim \mathrm{Erlang}(k_1+k_2,\lambda )$

Зв'язок із іншими розподілами

• Розподіл Ерланга — це розподіл суми $k$ незалежних однаково розподілених випадкових величин з експоненційним розподілом. Довгострокова частота виникнення подій є оберненою до математичного сподівання $\xi$ величиною, тобто $\lambda /k.$ Інтенсивність (вікова інтенсивність відмов) розподілу Ерланга для $k>1$ монотонна в $x,$ зростає від 0 при $x=0$ до $\lambda$ при $x\to \mathrm{\infty }$.
  • Тобто, якщо ${\xi }_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda ),i=\overline{1,k},$ то $\sum _{i=1}^k{\xi }_i\sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$
• Через наявність факторіала в знаменнику щільності розподілу та функції розподілу, розподіл Ерланга може бути визначеним лише при $k\in \mathbb{N}$. Тому цей розподіл іноді називають розподілом Ерланга-k (Шаблон:Lang-en) або розподілом Ерланга k-го порядку (наприклад, розподіл Ерланга-2 (2-го порядку) — це розподіл Ерланга з параметром $k=2$). Гамма-розподіл узагальнює розподіл Ерланга, дозволяючи набувати параметру $k$ будь-якого додатнього значення, оскільки використовує гамма-функцію замість факторіала.
  • Тобто якщо $k\in \mathbb{N}$ і $\xi \sim \mathrm{Gamma}(k,\lambda ),$ то $\xi \sim \mathrm{Erlang}(k,\lambda )$
• Відношення експоненційного розподілу та розподілу Ерланга $n$-го порядку з однаковими коефіцієнтами норми $\lambda$ зміщене на 1 має розподіл Парето:
  • Тобто якщо $\xi \sim \mathrm{Exp}(\lambda )$ та $\eta \sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$, то $\frac{\xi }{\eta }+1\sim \mathrm{Pareto}(1,n)$
• Розподіл Ерланга пов'язаний з розподілом Пуассона через Пуассонівський процес: якщо $S_n=\sum _{i=1}^n{\xi }_i,$ де ${\xi }_i\sim \mathrm{Exp}(\lambda ),$

то $$S_n\sim \mathrm{Erlang}(n,\lambda )$$ і $$\mathrm{P}(N(x)\le n-1)=\mathrm{Pr}(S_n>x)=1-F_{S_n}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}{e}^{-\lambda x}(\lambda x{)}^k.$$ В результаті маємо функцію розподілу Пуассона $F_{\eta }(n-1)$ для $\eta \sim \mathrm{Pois}(\lambda x)$.

Див. також

• Гамма-розподіл
• Розподіл Пуассона
• Експоненційний розподіл

Джерела

• Шаблон:Карташов.Імовірність процеси статистика
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга