Підсумовуючі функції

Шаблон:Без виносок Підсумовуюча функція  — функція, що ставить у відповідність ряду $S$ його значення $f(S)$. Не “класичні” способи для встановлення відповідності ряд–число використовуються в регуляризаціях, теорії чисел (Аналітичне продовження дзета-функції Рімана) та інших областях математики та фізики.

Обґрунтування

Важливо розуміти, що знак рівності в, наприклад, $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n=-\frac{1}{12}$не означає, що сума натуральних чисел $1+2+3+4+\cdots$ прямо дорівнює від’ємному дробовому числу.

Визначити суму ряду як границю часткових сум (класичне визначення) було доволі природно, але таке визначення не може дати числовий результат для багатьох рядів (як у прикладі вище).

Альтернативні підсумовуючі функції та поняття регуляризацій в цілому буде легше сприймати, якщо “забути” про класичне визначення і намагатися прирівнювати ряди до чисел на підставі інших “подібностей”.

Розглядаючи ряд

$1+2+4+8+\cdots$

можна помітити, що, якщо помножити його на 2 і додати 1, то ряд перейде в себе ж. Це цікава властивість і точно таку ж властивість має число −1, а інші числа  — ні (зверніть увагу, що при, наприклад, множенні на 4 і додаванні 3 висновок той же).

Це, звісно, не строге доведення, але такий приклад дає розуміння того, чому існують альтернативні підсумовуючі функціїю.

Властивості

Для підсумовуючих функцій виконуються наступні властивості:

• Лінійність: якщо $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$ і $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=B$, то $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\alpha a_n+\beta b_n)=\alpha A+\beta B$.

• Стабільність (інваріантність до зсуву): якщо $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$, то $a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$.

• Регулярність: якщо $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$ в класичному сенсі, то $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=A$ і з іншою підсумовуючою функцією.

Залежно від поставленої мети допускається невиконання якоїсь умови вище, або накладання додаткових. Але виконання трьох згаданих вище умов уже достатньо, щоб вважати функцію підсумовуючою.

Приклади

Класичне підсумовування

У класичному визначенні шукаємо границю часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m{a}_n$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m\frac{1}{2^n}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1-{\frac{1}{2}}^m}{1-\frac{1}{2}}=2$.

Підсумовування за Чезаро

У такому випадку шукаємо границю середнього арифметичного часткових сум. Тобто,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m\frac{\sum _{k=0}^n{a}_n}{m+1}$.

Наприклад,

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m\frac{\sum _{k=0}^n(-1{)}^k}{m+1}=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{2m+3+(-1{)}^m}{4m+4}=\frac{1}{2}$.

Підсумовування за Пуассоном-Абелем

У такому випадку присвоюємо сумі значення за такою формулою:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\underset{x\to 1}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=0}^m{a}_n{x}^n$.

Наприклад,

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}n=\underset{x\to -1}{\lim }\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{n=1}^{m}n{x}^{n-1}=\underset{x\to -1}{\lim }\frac{1}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{4}$.

Див. також

• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Пуассоном-Абелем
• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Ейлером
• Дзета-функція Рімана

Література

• Hardy, G. H. (2000). Dіvergent serіes. Amerіcan Mathematіcal Socіety, 334.
• Фихтенгольц, Г. М. (1966). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Рипол Классик.