AQUAL

AQUAL — це теорія гравітації, яка базується на модифікованій динаміці Ньютона (МОНД, MOND), але використовує лагранжеве формулювання для забезпечення виконання законів збереження. Вона була розроблена Джейкобом Бекенштейном і Мордехаєм Мілґромом у статті 1984 року «Чи вказує проблема відсутності маси на порушення ньютонівської гравітації?». «AQUAL» розшифровується як «квадратичний лагранжіан» (Шаблон:Lang-en).

Це формулювання МОНД дозволило зробити успішні незвідані передбачення для вертикальної кінематики зір у Чумацькому Шляху, співвідношень для центральної поверхневої густини у галактиках, та деяких інших залежностей, які не може пояснити гіпотеза темної матерії.

Невиконання законів збереження у МОНД

Рівняння руху тіла з масою $m$ у полі сили тяжіння точкового тіла масою $M$, отримуване з МОНД:

$m\mu \left(\frac{a}{a_0}\right)\overrightarrow{a}=-\frac{GMm}{r^3}\overrightarrow{r},$

має серйозну ваду: воно не зберігає імпульс та момент імпульсу. Щоб переконатися в цьому, розглянемо два тіла з масами $m\ne M$ і вектор $\overrightarrow{r}$ від тіла $M$ до тіла $m$; тоді з МОНД маємо

$\mu \left(\frac{a_m}{a_0}\right)m{\overrightarrow{a}}_m=-\frac{GMm}{r^3}\overrightarrow{r}$

$\mu \left(\frac{a_M}{a_0}\right)M{\overrightarrow{a}}_M=\frac{GMm}{r^3}\overrightarrow{r}$

Що дає:

$\mu \left(\frac{a_m}{a_0}\right)m{\overrightarrow{a}}_m+\mu \left(\frac{a_M}{a_0}\right)M{\overrightarrow{a}}_M=0$

Для малих прискорень $\mu (x)\approx x$, тоді:

$m\frac{a_m}{a_0}{\overrightarrow{a}}_m=-M\frac{a_M}{a_0}{\overrightarrow{a}}_M$

$\sqrt{m}{\overrightarrow{a}}_m=-\sqrt{M}{\overrightarrow{a}}_M$

Що після інтегрування дає:

$\sqrt{m}{\overrightarrow{v}}_m+\sqrt{M}{\overrightarrow{v}}_M=\overrightarrow{\text{const}}$

Що відрізняється від закону збереження імпульсу:

$m{\overrightarrow{v}}_m+M{\overrightarrow{v}}_M=\overrightarrow{\text{const}}$

Лагранжеве формулювання МОНД

Цю проблему можна вирішити шляхом виведення закону сили з лагранжіана ціною, можливо, зміни загальної форми закону сили. Тоді закони збереження можна було б отримати з лагранжіана звичайними засобами.

Лагранжіан (точніше, лагранжева густина) AQUAL записується схоже до Ньютонівського:

$ℒ=\frac{\rho v^2}{2}-\rho \mathrm{\Phi }-\frac{1}{8\pi G}{a}_0^{2}F\left(\frac{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }{|}^2}{a_0^2}\right)$

Він призводить до модифікованого рівняння Пуассона:

$\mathrm{\nabla }\cdot \left(\mu \left(\frac{|\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }|}{a_0}\right)\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }\right)=4\pi G\rho$

де $\mu (x)=\frac{dF(x^2)}{dx}$, а передбачене прискорення:

$a=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }$

Ці рівняння зводяться до рівнянь MOND у сферично-симетричному випадку, проте вони дещо відрізняються у випадку диска, необхідного для моделювання спіральних або лінзоподібних галактик. Однак різниця становить лише 10–15%, тому на результати вона серйозно не впливає.

За словами Сандерса та МакГафа, однією з проблем AQUAL (або будь-якої скалярно-тензорної теорії, в якій скалярне поле входить як конформний фактор, що множить метрику Ейнштейна) є неспроможність AQUAL передбачити кількість гравітаційних лінз, які насправді спостерігаються в багатих скупченнях галактик.

Література

• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Шаблон:Cite journal
• Kyu-Hyun Chae (2023) Breakdown of the Newton–Einstein Standard Gravity at Low Acceleration in Internal Dynamics of Wide Binary Stars. The Astrophysical Journal, Volume 952, Number 2, 128 Шаблон:DOI

Посилання

• Денис Ільченко, Шаблон:YouTube, канал НДІ астрономії Харківського університету