Ікосаедрична піраміда

Ікосаедрична піраміда
Діаграма Шлегеля
Тип	Шаблон:Не перекладено
Символ Шлефлі	() ∨ {3,5}
Комірок	21	1 {3,5} 20 () ∨ {3}
Граней	50	20+30 {3}
Ребер	12+30
Вершин	13
Двоїстий	Шаблон:Не перекладено
Група симетрії	H3, [5,3,1], order 120
Властивості	опуклий, правильнокомірковий, Шаблон:Нп

Ортогональна двовимірна проєкція рівногранної ікосаедричної піраміди, що обертається навколо площини, яка проходить через два паралельні ребра її основи

Ікосаедри́чна пірамі́да — чотиривимірний многогранник (багатокомірник): Шаблон:Не перекладено, що має основою ікосаедр.

Опис

Обмежена 21 тривимірною коміркою — 20 тетраедрами і 1 ікосаедром. Ікосаедрична комірка оточена всіма двадцятьма тетраедричними; кожна тетраедрична комірка оточена ікосаедричною і трьома тетраедричними.

50 двовимірних граней — трикутники. 20 граней розділяють ікосаедричну і тетраедричну комірки, решта 30 — дві тетраедричні.

Має 42 ребра. На 30 ребрах сходяться по три грані і по три комірки (ікосаедрична і дві тетраедричні), на решті 12 — по п'ять граней і по п'ять комірок (тільки тетраедричні).

Має 13 вершин. У 12 вершинах сходяться по 6 ребер, по 10 граней і по 6 комірок (ікосаедрична і п'ять тетраедричних); у 1 вершині — 12 ребер, 30 граней і всі 20 тетраедричних комірок.

Рівногранна ікосаедрична піраміда

Якщо всі ребра ікосаедричної піраміди мають рівну довжину $a$ її грані — однакові правильні трикутники. Чотиривимірний гіпероб'єм та тривимірна гіперплоща поверхні такої піраміди виражаються відповідно як

$V_4=\frac{5}{96}(1+\sqrt{5})a^4\approx 0,1685452a^4,$

$S_3=\frac{5}{12}(3+4\sqrt{2}+\sqrt{5})a^3\approx 4,5387176a^3.$

Висота піраміди при цьому дорівнюватиме

$H=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)a\approx 0,3090170a,$

радіус описаної гіперсфери (що проходить через усі вершини багатокомірника)

$R=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a,$

радіус зовнішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх ребер у їхніх серединах) -

${\rho }_1=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a,$

радіус внутрішньої напіввписаної гіперсфери (що дотикається до всіх граней у їхніх центрах)

${\rho }_2=\frac{1}{6}(\sqrt{15}+3\sqrt{3})a\approx 1,5115226a,$

радіус вписаної гіперсфери (що дотикається до всіх комірок) -

$r=\frac{(4\sqrt{2}-5)(2+\sqrt{5})-1}{12}a\approx 0,1485399a.$

Центр вписаної гіперсфери розташований всередині піраміди, центри описаної та обох напіввписаних гіперсфер — в одній і тій самій точці поза пірамідою.

Таку піраміду можна отримати, взявши опуклу оболонку будь-якої вершини шестисоткомірника та всіх 12 сусідніх вершин, з'єднаних з нею ребром.

Кут між двома суміжними тетраедричними комірками дорівнює $\arccos (-\frac{1+3\sqrt{5}}{8})\approx 164,48^{\circ },$ як і у шестисоткомірнику. Кут між ікосаедричною коміркою та будь-якою з тетраедричних дорівнює $\arccos \frac{\sqrt{7+3\sqrt{5}}}{4}\approx 22,24^{\circ }.$

У координатах

Рівногранну ікосаедричну піраміду з довжиною ребра $2$ можна розмістити в декартовій системі координат так, щоб її вершини мали координати

• $(0;\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };0),$
• $(\pm \mathrm{\Phi };0;\pm 1;0),$
• $(\pm 1;\pm \mathrm{\Phi };0;0),$
• $(0;0;0;{\mathrm{\Phi }}^{-1}),$

де $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — відношення золотого перетину.

Посилання

• Richard Klitzing. Icosahedral pyramid Шаблон:Ref-en