Теорема про кінетичну енергію системи

Теорема про кінетичну енергію системи — одна із загальних теорем динаміки, наслідок законів Ньютона. Пов'язує кінетичну енергію механічної системи з роботою сил, що діють на тіла, які становлять систему. Системою, про яку йдеться, може виступати будь-яка механічна система, що складається з будь-яких тіл.

Формулювання теореми

Кінетичною енергією системи називають суму кінетичних енергій усіх тіл, що входять до системи. Для визначеної в такий спосіб величини справедливе твердження:

Шаблон:Виписка

Теорема допускає узагальнення на випадок неінерційних систем відліку. У цьому випадку до роботи всіх зовнішніх і внутрішніх сил необхідно додати роботу переносних сил інерції (коріолісові сили інерції не можуть виконувати роботу).

Доведення теореми

Розглянемо систему матеріальних точок із масами $m_i$, швидкостями ${\overrightarrow{v}}_i$ та кінетичними енергіями $T_i=\frac{1}{2}{m}_i{v_i}^2$. Для малої зміни кінетичної енергії (диференціала), що відбувається протягом деякого малого проміжку часу $dt,$ буде виконуватися

$d{T}_i=m_i{\overrightarrow{v}}_{i}d{\overrightarrow{v}}_i=m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}dt.$

Враховуючи що $\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}$ являє собою прискорення $i$-ої точки ${\overrightarrow{a}}_i$, а ${\overrightarrow{v}}_{i}dt$ — переміщення тієї ж точки $d{\overrightarrow{s}}_i$ за час $dt$, отриманий вираз можна записати у вигляді:

$d{T}_i=m_i{\overrightarrow{a}}_{i}d{\overrightarrow{s}}_i.$

Використовуючи другий закон Ньютона і позначаючи рівнодійну всіх сил, що діють на точку, як $F_i$, отримуємо

$d{T}_i={\overrightarrow{F}}_{i}d{\overrightarrow{s}}_i,$

а потім, відповідно до визначення роботи $d{A}_i$,

$d{T}_i=d{A}_i.$

Підсумовування всіх рівнянь такого вигляду, записаних для кожної з матеріальних точок, приводить до формули зміни повної кінетичної енергії системи:

$dT=\sum _{i}d{A}_i.$

Ця рівність виражає твердження теореми про зміну кінетичної енергії системи в диференціальному вигляді.

Проінтегрувавши обидві частини рівності за довільно взятим проміжком часу між деякими $t_1$ і $t_2$, отримаємо вираз теореми про зміну кінетичної енергії в інтегральній формі:

$T_2-T_1=\sum _i{A}_i,$

де $T_1$ і $T_2$ — Значення кінетичної енергії системи в моменти часу $t_1$ і $t_2$ відповідно.

Підкреслимо, що тут, на відміну від випадків теореми про зміну кількості руху системи та теореми про рух центра мас системи, враховується робота не лише зовнішніх, але й внутрішніх сил.

Закон збереження механічної енергії

Окремий інтерес становлять системи, в яких на тіла діють потенціальні сили. Для таких сил уводиться поняття потенціальної енергії, зміна якої в разі однієї матеріальної точки за визначенням задовольняє співвідношенню:

$W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},$

де $W_{1i}$ і $W_{2i}$ — значення потенціальної енергії точки в початковому і кінцевому станах відповідно, а $A_{pi}$ — робота потенціальної сили, що виконується при переміщенні точки з початкового стану в кінцевий.

Зміна потенційної енергії системи отримується як сума змін енергії всіх тіл системи:

$W_2-W_1=-\sum _i{A}_{pi}.$

Якщо всі внутрішні та зовнішні сили, що діють на тіла системи, потенціальні, то

$\sum _i{A}_i=\sum _i{A}_{pi}=-(W_2-W_1).$

Підставляючи отриманий вираз у рівняння теореми про кінетичну енергію, отримаємо:

$T_2-T_1=-(W_2-W_1)$

або, що те саме

$T_2+W_2=T_1+W_1.$

Інакше кажучи, виходить, що для повної механічної енергії системи $T+W$ виконується

$T+W=const.$

Отже, можна зробити висновок:

Шаблон:Виписка

Це твердження й становить зміст закону збереження механічної енергії, який є наслідком теореми про кінетичну енергію і одночасно окремим випадком загального фізичного закону збереження енергії.

Випадок системи з ідеальними стаціонарними зв'язками

У тих випадках, коли предметом вивчення є лише рух системи, а реакції зв'язків не цікаві, користуються формулюванням теореми для системи з ідеальними стаціонарними зв'язками, яка виводиться з урахуванням принципу д'Аламбера — Лагранжа.

Теорема про зміну кінетичної енергії системи з ідеальними стаціонарними зв'язками стверджує:

Шаблон:Виписка

Теорема доводиться в такий спосіб. Замінюючи в Шаблон:Li $\delta {\overrightarrow{r}}_k$ на ${\overrightarrow{v}}_{k}dt$, отримуємо:

$(\sum m_k{\overrightarrow{w}}_k){\overrightarrow{v}}_{k}dt=\sum {\overrightarrow{F}}_k{\overrightarrow{v}}_{k}dt$

або

$(d\sum m_k{\overrightarrow{v}}_k){\overrightarrow{v}}_k=\sum {\overrightarrow{F}}_k^{ae}{\overrightarrow{v}}_{k}dt+\sum {\overrightarrow{F}}_k^{ai}{\overrightarrow{v}}_{k}dt$

Оскільки $d{\overrightarrow{v}}_k{\overrightarrow{v}}_k=d\frac{v_k^2}{2}$, отримуємо остаточно:

$d{T}_i=m_i{\overrightarrow{a}}_{i}d{\overrightarrow{s}}_i.$

Верхні значки в цих виразах означають: $a^{}$ — активна (тобто, така, що не є реакцією зв'язків) сила, $e^{}$ (від Шаблон:Lang-en) та $i^{}$ (від Шаблон:Lang-en) — відповідно, зовнішня та внутрішня сила.

Див. також

• Теорема про рух центра мас системи
• Теорема про зміну кількості руху системи
• Теорема про зміну моменту імпульсу системи