Аналіз сингулярного спектру

Розділення часового ряду на тренд, осцилюючі компоненти і шум

Аналіз сингулярного спектру (Шаблон:Lang-en, SSA), також «Гусениця» — метод аналізу часових рядів, що базується на перетворенні одновимірного часового ряду на багатовимірний і подальший його сингулярний розклад. При правильному використанні метод дозволяє розділити часовий ряд на тренд, періодичні компоненти і випадковий шум.

Опис базового методу

У найбільш розповсюдженому варіанті алгоритму, вхідними даними є одномірний часовий ряд $F_N$, де $N$ — довжина ряду. SSA складається з чотирьох етапів: 1. Перетворення одновимірних даних на багатовимірні, або вкладання (Шаблон:Lang-en). Оберемо число $2\le L<N$, ширину вікнаШаблон:Sfn. Нехай $K=N-L+1$. Побудуємо матрицю розміру $L\times K$, наступним чином: перший стовпчик складають елементи ряду з $f_1$ по $f_L$. Другий — $f_2$ по $f_{L+1}$, і так до К-того стовпця, у який входять елементи від $f_K$ по $f_N$Шаблон:Sfn.

$𝐗=\left[\begin{array}{ccccc}{f}_1& f_2& f_3& \dots & f_K\\ f_2& f_3& f_4& \dots & f_{K+1}\\ f_3& f_4& f_5& \dots & f_{K+2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ f_L& f_{L+1}& f_{L+2}& \dots & f_N\end{array}\right],$

Матриця $𝐗$ називається траєкторною матрицею. Усі елементи, що лежать на діагоналях, паралельних побічній є рівними, тобто така матриця є ганкелевою.

2. Сингулярний розклад траєкторної матриці. Нехай $𝐒=𝐗{𝐗}^T$, матриця розмірності $L\times L$. Тоді, позначимо власні числа матриці $𝐒$ як ${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_L$, а власні вектори як $U_1,U_2,...,U_L$. Якщо $d$ — це кількість ненульових власних чисел, то можна визначити $d$ факторних векторів

$V_i=\frac{{𝐗}^T{U}_i}{\sqrt{{\lambda }_i}}$

Тоді траєкторну матрицю можна представити у вигляді

$𝐗={𝐗}_1+{𝐗}_2+\dots +{𝐗}_d=\sum _{i=1}^d\sqrt{{\lambda }_i}{U}_i{V}_i^T$

Сукупність деякого власного числа ${\lambda }_i$ а також власного і факторного векторів що йому відповідають, називається власною трійкою (Шаблон:Lang-en)Шаблон:Sfn

3. Групування. Усі власні трійки розбиваються на $m$ груп що не перетинаються, які позначаються як $I_1,I_2,...,I_m$. Матриці що входять до кожної групи складаються: нехай $I$ це деяка група, в яку входять $p$ різних власних трійок, тоді

${𝐗}_I={𝐗}_{i_1}+{𝐗}_{i_2}+...+{𝐗}_{i_p}$

Групування є найбільш нетривіальною частиною метода. Критерієм правильності його виконання є те, що результуючи матриці, що отримуються сумацією всіх матриць всередині групи, є близькими до ганкелевих, тобто, значення на їх діагоналях, паралельних побіжним є рівними або хоча б близькими. Складові часового ряда, які можливо виділити таким чином, називаються розділимимиШаблон:Sfn.

4. Усереднення, або ганкелізація. Оскільки рідко можливо створити справді ганкелеві матриці у попередньому етапі, у кожній з матриць ${𝐗}_I$, всі значення, що лежать на діагоналях, паралельних побічній, усереднюютьсяШаблон:Sfn:

$\widetilde{x_{1,1}}=x_{1,1}$;

$\widetilde{x_{1,2}}=\widetilde{x_{2,1}}=\frac{x_{1,2}+x_{2,1}}{2}$;

$\widetilde{x_{1,3}}=\widetilde{x_{2,2}}=\widetilde{x_{3,1}}=\frac{x_{1,3}+x_{2,2}+x_{3,1}}{3}...$

Отримана в результаті усереднення матриця буде ганкелевою, як і оригінальна траєкторна матриця $𝐗$. Кожній з цих матриць можна поставити у відповідність деякий часовий ряд $\widetilde{F_N^{(i)}}$ (за тим самим принципом, як з часового ряду була отримана траєкторна матриця). Отримані $m$ часових рядів у сумі будуть давати оригінальний часовий ряд:

$F_N=\widetilde{F_N^{(1)}}+\widetilde{F_N^{(2)}}+...+\widetilde{F_N^{(m)}}$

Компоненти, які є результатом роботи алгоритму можуть бути розподілені на три типи: тренд (нестаціонарна частина серії, монотонно зростаюча або спадаюча компонента, іноді з окремими піками — загалом, межа між трендом і періодичними компонентами з дуже довгим періодом є розмитою), періодичні компоненти (такі компоненти не обов'язково є гармонійними коливаннями, і можуть мати довільну форму, а іноді — амплітудну або частотну модуляцію, тобто, їх розмах або період може повільно збільшуватися або зменшуватися з часом, в останньому випадку такі компоненти називають квазіперіодичними), і шум (аперіодичні, хаотичні, швидкозмінні компоненти, що мають близьку до нуля коваріацію)Шаблон:Sfn.

Перед використанням методу, для коректного порівняння різних компонент, дані зазвичай Шаблон:Не перекладено — віднімають середнє значення і ділять на середньоквадратичне відхиленняШаблон:Sfn.

Принцип роботи

Метод є ідейно близьким до методу головних компонент: у просторі траєкторних матриць він шукає ортогональний базис, за яким можна розкласти матрицю на незалежні компоненти. Сингулярний розклад дозволяє знайти такий базис, і крім того, має важливу особливість: серед всіх матриць рангу r (де r є меншим ніж ранг траєкторної матриці), матриця, що дорівнює сумі перших r матриць з сингулярного розкладу буде найближчою до оригінальної матриці (в сенсі, норма Фробеніуса різниць цих матриць буде найменшою)Шаблон:Sfn.

Розділюваність компонент

Розділюваність (Шаблон:Lang-en) є дуже важливою концепцією для розуміння ефективності методу. Тільки якщо компоненти ряду є розділюваними, SSA зможе їх коректно виділити. Існує два різних типи розділюваності, слабка і сильна. Нехай є ряд $F_N$ що складається з двох компонент, $F_N^{(1)}$ і $F_N^{(2)}$. Тоді ці компонентами називаються слабко розділюваними, якщо усі підряди довжини L першого ряду є ортогональними усім підрядам довжини L другого ряду, і те саме щодо підрядів довжини $K$ (тобто $N-L-1$). Або, що те саме, кожен з стовпців траєкторної матриці першого ряду є ортогональним кожному стовпцю другого ряду (і те саме щодо рядків траєкторних матриць).

Додатковою умовою сильної розділюваності є те, що множини власних значень матриць ${𝐒}_{\mathrm{𝟏}}$ і ${𝐒}_{\mathrm{𝟐}}$ не перетинаються.

Якщо усі власні значення траєкторної матриці є унікальними (тобто, не повторюються), то визначення сильної і слабкої розділюваності є однаковимиШаблон:Sfn.

Існує необхідна, але не достатня умова розділюваності, яка називається w-ортогональність. Нехай $L^{*}=min(L,K),K^{*}=max(L,K)$. Визначимо ваговий векторШаблон:Sfn

$w_i=\{\begin{array}{cc}i,& \text{if }1\le i<L^{*}\\ L^{*},& \text{if }{L}^{*}<i\le K^{*}\\ N-i,& \text{if }{K}^{*}<i\end{array}$

Якщо представити $w$ як ряд, він буде мати трапецієвидну форму. Також, визначимо зважений добуток часових рядів як:

$(F^{(1)},F^{(2)}{)}_w=\sum _{i=1}^N{w}_i{f}_i^{(1)}{f}_i^{(2)}$

Ряди $F^{(1)}$ і $F^{(2)}$ називаються w-ортогональними, якщо $(F^{(1)},F^{(2)}{)}_w=0$.

Хоча w-ортогональність не є достатньою умовою для роздільності, вона є необхідною — якщо два ряди не w-ортогональні, тоді вони і не розділювані. При цьому, ця умова є обчислювано простою, тому вона досить широко застосовується.

Два гармонічні періодичні ряди є розділюваними, якщо їх періоди у ціле число разів менші за розмірності траєкторної матриці: $T_1=L/m_1=K/p_1;T_2=L/m_2=K/p_2$.

Зазвичай повна розділюваність є недосяжною, тому на практиці від даних очікується наближена розділюваність. Існує кілька метрик, якими можливо її виміряти:

• Максимальна кореляція. Ортогональність двох векторів можна розуміти як нульову кореляцію між їх компонентами. Тому максимальне абсолютне значення кореляції серед усіх пар підрядів довжини L i K (де один член пари взятий з першого ряду, а другий — з другого) є мірою неортогональності (чим ближча вона до нуля, тим краще).
• Зважена кореляція (Шаблон:Lang-en), яка є оцінкою близькості до w-ортогональності, і визначається як:

${\rho }_{12}^{(w)}=\frac{(F^{(1)},F^{(2)}{)}_w}{(F^{(1)},F^{(1)}{)}_w*(F^{(2)},F^{(2)}{)}_w}$

Чим ближчий він до нуля, тим більш близькими до ортогональності є два ряди.

Вибір параметрів моделі

Загалом, базовий SSA має лише два параметри. Перший — числовий, довжина вікна. Другий — методологічний, спосіб групування.

Довжину вікна зазвичай обирають достатньо великою, оскільки вона має бути більшою, ніж можливі періоди коливання компонентів ряду, проте не більшою ніж $N/2$. Нормальною практикою є $L>N/4$Шаблон:Sfn. Якщо ми очікуємо, що ряд містить компоненту деякого періоду, то є сенс взяти L кратним цьому періоду.

Пошук методу групування є більш широкою задачею. Існує кілька емпіричних вказівок на те, як групувати компоненти:

• На діаграмі власних значень, $(log({\lambda }_i),i)$ компоненти що відносяться до шуму виглядають як довгий і плавно спадаючий хвіст. Такі компоненти зазвичай достатньо сильно w-корельовані між собоюШаблон:Sfn.
• Періодичним компонентам часто відповідають два близьких власних значення, або одне значення, якщо це пилкоподібна компонента (кожне наступне значення змінює знак відносно попереднього)
• Найбільшим власним значенням відповідають найбільш значущі компоненти — зазвичай це тренд.

Література

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга