Суперкорінь

У математиці суперкорінь — одна з двох обернених функцій тетрації.

Так само як піднесення до степеня має дві [обернені функції (корінь і логарифм), так і тетрація має дві обернені функції: суперкорінь і суперлогарифм. Це зумовлено некомутативністю гіпероператора при $N > 2$ . Суперкорінь не є елементарною функцією.

Визначення

Для будь-якого невід'ємного цілого числа $n ⩾ 0$ суперкорінь $n$ -го степеня з $a > 0$ можна визначити, як один із розв'язків рівняння: $^{n} x = a$ .

Суперкорінь — неоднозначна функція. Так, при $n = 2$ і $e^{- \frac{1}{e}} ⩽ a < 1$ рівняння вигляду $^{2} x = a$ має два суперкорені з $a$ , причому обидва вони будуть додатні та менші від $1$ . Ця двоїстість значень пояснюється тим, що функція $f (x) =^{n} x$ немонотонна.

Суперкорінь не завжди можна добути навіть із додатного числа, що є наслідком наявності у функцій виду $f (x) =^{n} x$ глобального мінімуму. Наприклад, при $n = 2$ похідна функції $f (x) =^{2} x$ має одну точку екстремуму $x = \frac{1}{e}$ , тому знаходження значень суперкореня другого степеня з $x$ при $0 < x < (\frac{1}{e})^{\frac{1}{e}}$ стає неможливим (див. графік).

Приклади

Приклади добування суперкореня з додатного дійсного числа:

Суперкорінь четвертого ступеня з 65536 дорівнює 2, оскільки $2^{2^{2^{2}}} = 65536;$
Суперкорінь другого степеня з 27 дорівнює 3, оскільки $3^{3} = 27;$
Суперкорінь другого степеня з $\frac{\sqrt{2}}{2}$ має два значення: $\frac{1}{2}$ і $\frac{1}{4}$ , оскільки $(\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2^{2}})^{\frac{1}{4}} = (\frac{1}{2})^{2 \times \frac{1}{4}} = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$