Простір модулів

Простір модулів у алгебричній геометрії — геометричний простір (наприклад, схема, Шаблон:Не перекладено або Шаблон:Не перекладено простір), точки якого відповідають деякому класу алгебро-геометричних об'єктів $A$, факторизованому за деяким відношенням еквівалентності $R$. Такі простори часто виникають як розв'язки класифікаційних задач: якщо множина об'єктів, що цікавлять нас (наприклад, гладких кривих алгебраїчних роду $g$, що розглядаються з точністю до ізоморфізму), можна забезпечити структурою геометричного простору, можна параметризувати дані об'єкти, ввівши координати на цьому просторі. У цьому контексті термін «модулі» синонімічний терміну «параметри»: простори модулів спочатку розумілися як простори параметрів, а не простори об'єктів.

Історія

Теорія модулів виникла під час вивчення еліптичних функцій: існує сімейство різних полів еліптичних функцій (або їх моделей — неізоморфних еліптичних кривих над $ℂ$), параметризоване комплексними числами. Бернгард Ріман, якому належить і сам термін «модулі», показав, що компактні ріманові поверхні роду $g⩾2$ залежать від $3g-3$ комплексних параметрів — модулів.

Визначення

Нехай $S$ — деяка схема (комплексний або алгебричний простір). Сімейство об'єктів, параметризоване схемою $S$ (або, як часто кажуть, над $S$ або з базою $S$) — це набір об'єктів $\{X_s|s\in S,X_s\in A\}$, з додатковою структурою, узгодженою зі структурою бази $S$. Цю структуру в кожному конкретному випадку задають явно. Функтор модулів (або функтор сімейств) — це контраваріантний функтор $ℳ$ із категорії схем (або просторів) у категорію множин, що визначається так: $ℳ(S)$ — множина класів ізоморфних сімейств над $S$, а морфізму $f:S\to T$ зіставляється відображення $f^{*}:ℳ(T)\to ℳ(S)$ за допомогою взяття індукованого сімейства.

Якщо функтор модулів $ℳ$ зображуваний за допомогою схеми (або простору) $M$, то $M$ називають тонким простором модулів для функтора $ℳ$. У цьому випадку існує універсальне сімейство $U$ з базою $M$, тобто довільне сімейство $T$ з базою $S$ індукується сімейством $U$ за допомогою єдиного відображення $f:S\to M$.

Функтор модулів є зображуваним у дуже небагатьох випадках, тому запроваджено також поняття грубого простору модулів. Схему $M$ називають грубим простором модулів для функтора $ℳ$, якщо існує натуральне перетворення $\phi :ℳ\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M)$, таке, що

1. якщо $K$ — алгебрично замкнуте поле, то відображення $\phi (\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K):ℳ(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}K,M)$ бієктивне;
2. для довільної схеми $M^{\prime }$ та природного перетворення ${\phi }^{\prime }:ℳ\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M^{\prime })$ існує єдиний морфізм $\pi :M\to M^{\prime }$, такий, що для асоційованого природного перетворення $\mathrm{\Pi }:\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M)\to \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(\cdot ,M^{\prime })$ виконується $\phi =\mathrm{\Pi }\circ {\phi }^{\prime }$.

Інтуїтивно, замкнуті точки грубої схеми модулів відповідають елементам $A/R$, а геометрія цієї схеми відбиває те, як об'єкти класу $A$ можуть змінюватись у сімействах. З іншого боку, над грубою схемою модулів може не існувати універсального сімейства.

Приклади

Криві

Нехай $A/R={𝐌}_g$ (відповідно, $\overline{{𝐌}_g}$) — множина класів ізоморфних проєктивних гладких зв'язних кривих (відповідно, Шаблон:Не перекладено) роду $g⩾2$ над алгебрично замкнутим полем $K$. Сімейство над $S$ — це гладкий (плоский) власний морфізм $f:X\to S$, шарами якого є гладкі (стабільні) криві роду $g$. Тоді існує груба схема модулів $M_g$ (відповідно, $\overline{M_g}$), що є квазіпроєктивним (проєктивним) незвідним і нормальним многовидом над $K$.

Векторні розшарування

Нехай $A/R$ — множина класів ізоморфних векторних розшарувань рангу $n$ на алгебричному многовиді $X$. Сімейство над $S$ — це векторне розшарування на $X\times S$. У випадку, коли $X$ — це неособлива проєктивна крива над алгебрично замкнутим полем, існує нормальний проєктивний многовид $\overline{M_{d,n}}$, який є грубим простором модулів напівстабільних векторних розшарувань рангу $n$ та степеня $d$ на $X$. Стабільні векторні розшарування параметризуються відкритим гладким многовидом $M_{d,n}\subset \overline{M_{d,n}}$. Якщо $d$ і $n$ взаємно прості, $M_{d,n}$ збігається з $\overline{M_{d,n}}$ і є тонким простором модулів.

Література

• Шаблон:Із
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга