Обмежені неповні частки

У математиці про дійсне число кажуть, що воно має обмежені неповні частки, якщо при його розкладанні в ланцюговий дріб неповні частки не набувають як завгодно великих значень.Шаблон:Рамка Визначення

Ланцюговий дріб

$x=[a_0;a_1,a_2,\dots ]=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\dots }}$

має обмежені неповні частки, якщо існує число $c$ таке, що $a_i\le c$ для будь-якого $i\ge 0$. Шаблон:/рамка

Властивості

• будь-який періодичний ланцюговий дріб має обмежені неповні частки;

• якщо $x$ має обмежені неповні частки, то у двійковому поданні значення функції Мінковського в точці $x$ відстань між сусідніми одиницями обмежена (в цьому контексті множину таких чисел можна розуміти як широке узагальнення ідеї побудови множини Кантора).

Гіпотеза Заремби

Шаблон:Докладніше Розклад раціонального числа в ланцюговий дріб завжди скінченний, тому всі його неповні частки обмежені найбільшою з них. Особливо цікавим є питання, чи можна накласти єдині обмеження на неповні частки більшості раціональних чисел. Його 1972 року поставив Станіслав Заремба.Шаблон:Рамка Гіпотеза Заремби

Існує абсолютна стала $c$ така, що для будь-якого знаменника $q\in \mathbb{N}$ існує чисельник $a<q$ такий, що $(a,q)=1$ та неповні частки нескоротного дробу

$\frac{a}{q}=[a_1,\dots ,a_s]$

обмежені нерівністю $a_i\le c,i=1,\dots ,s$ Шаблон:/рамкаБурген і Конторович довели гіпотезу для багатьох чисел $q$ щільності 1Шаблон:Sfn. Для малих значень сталої $c$ та окремих множин допустимих значень $a_i$ вивчають слабші нижні оцінки на розподіл таких $q$.

Література

• Шаблон:Стаття
• Шаблон:Стаття