Категорія коми

У теорії категорій, категорія коми — спеціальна конструкція, що надає спосіб вивчення морфізмів не як співвіднесення об'єктів категорії один з одним, а як самостійних об'єктів. Назва «категорія коми» з'явилася через початкове (введене Шаблон:Нп) позначення, яке включало знак коми. Згодом стандартне позначення змінилося з міркувань зручності.

Визначення

Загальний випадок

Нехай $𝒜,ℬ$ і $𝒞$ — категорії, а $S$ і $T$ — функтори

$𝒜\stackrel{S}{\to }𝒞\stackrel{T}{\leftarrow }ℬ$

Категорію коми $(S\downarrow T)$ можна побудувати так:

• Об'єкти — всі трійки вигляду $(\alpha ,\beta ,f)$, де $\alpha$ — об'єкт $𝒜$, $\beta$ — Об'єкт $ℬ$, і $f:S(\alpha )\to T(\beta )$ — морфізм у $𝒞$.
• Морфізм з $(\alpha ,\beta ,f)$ в $({\alpha }^{\prime },{\beta }^{\prime },f^{\prime })$ — всі пари $(g,h)$, де $g:\alpha \to {\alpha }^{\prime }$, $h:\beta \to {\beta }^{\prime }$ — морфізми в $𝒜$ і $ℬ$ відповідно, такі, що комутує така діаграма:

$\begin{array}{ccc}S(\alpha )& \stackrel{S(g)}{\to }& S({\alpha }^{\prime })\\ f\downarrow & & \downarrow f^{\prime }\\ T(\beta )& \underset{T(h)}{\overset{}{\to }}& T({\beta }^{\prime })\end{array}$

Якщо останній вираз визначено, композиція морфізмів $(g,h)\circ (g^{\prime },h^{\prime })$ береться як $(g\circ g^{\prime },h\circ h^{\prime })$. Тотожний морфізм об'єкта $(\alpha ,\beta ,f)$ — це $({\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\alpha },{\mathrm{i}\mathrm{d}}_{\beta })$.

Два часткових випадки

Розглянемо два часткових випадки, які простіші й трапляються дуже часто.

Перший випадок — категорія об'єктів над

$A$

. Нехай у попередньому визначенні

$𝒜=𝒞$

,

$S$

 — тотожний функтор і

$ℬ=\mathbf{\text{1}}$

(категорія з одним об'єктом

$*$

та одним морфізмом). Тоді

$T(*)=A$

для деякого об'єкта

$A$

категорії

$𝒞$

. У цьому випадку використовують позначення

$(𝒞\downarrow A)$

. Об'єкти вигляду

$(\alpha ,*,f)$

 — це просто пари

$(\alpha ,f)$

, де

$f:\alpha \to A$

. Іноді в цій ситуації

$f$

позначають як

${\pi }_{\alpha }$

. Морфізм з

$(B,{\pi }_B)$

в

$(B^{\prime },{\pi }_{B^{\prime }})$

 — це морфізм

$g:B\to B^{\prime }$

, що замикає до комутативної таку діаграму:

Двоїстий випадок — категорія об'єктів під

$A$

. Тут

$S$

 — функтор з 1 і

$T$

 — тотожний функтор. У цьому випадку використовують позначення

$(A\downarrow 𝒞)$

, де

$A$

 — об'єкт

$𝒞$

, в який відображає

$S$

. Об'єкти — пари

$(B,i_B)$

, де

$i_B:A\to B$

. Морфізм між

$(B,i_B)$

і

$(B^{\prime },i_{B^{\prime }})$

 — відображення

$h:B\to B^{\prime }$

, що замикає до комутативної таку діаграму:

Категорія стрілок

Ще один частковий випадок — коли $S$ і $T$ — тотожні функтори в $𝒞$ (так що $𝒜=ℬ=𝒞$). У цьому випадку категорію коми називають категорією стрілок ${𝒞}^{\to }$. Її об'єкти — морфізми $𝒞$, а її морфізми — комутативні квадрати в $𝒞$.

Властивості

Для будь-якої категорії стрілок визначено два забутливі функтори з неї:

• Функтор прообразу $S\downarrow T\to 𝒜$, який відображає:
  • об'єкти: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \alpha$;
  • морфізми: $(g,h)\mapsto g$;
• Функтор образу, $S\downarrow T\to ℬ$, який відображає:
  • об'єкти: $(\alpha ,\beta ,f)\mapsto \beta$;
  • морфізми: $(g,h)\mapsto h$.

Приклади

• Категорія множин із відміченою точкою — це категорія коми $(\bullet \downarrow 𝐒𝐞𝐭)$, де $\bullet$ — функтор, що вибирає деякий синґлетон, і $𝐒𝐞𝐭$ — Тотожний функтор у категорії множин. У подібний спосіб можна утворити категорію топологічних просторів із зазначеною точкою $(\bullet \downarrow 𝐓𝐨𝐩)$.
• Категорія графів — це категорія коми $(𝐒𝐞𝐭\downarrow D)$, де $D:𝐒𝐞𝐭\to 𝐒𝐞𝐭$ — функтор, що відправляє $s$ в $s\times s$. Об'єкти вигляду $(a,b,f)$ складаються з двох множин та функції; $a$ — індексує множину для ребер, $b$ — множину вершин, тоді $f:a\to (b\times b)$ вибирає пару елементів $b$ для кожного $a$, тобто $f$ вибирає певне ребро зі множини можливих ребер $b\times b$. Морфізми в цій категорії — функції індексувальній множині і множині вершин, такі, що образи вершин, які відповідали даному ребру, відповідатимуть його образу.

Спряження

Функтори $F:𝒞\to 𝒟$ і $G:𝒟\to 𝒞$ спряжені тоді й лише тоді, коли категорії коми $(F\downarrow i{d}_{𝒟})$ і $(i{d}_{𝒞}\downarrow G)$ ізоморфні, причому еквівалентні елементи проєктуються на той самий елемент $𝒞\times 𝒟$. Це дозволяє описати сполучені функтори, не використовуючи множини, і це було головною причиною появи конструкції категорій коми.

Природні перетворення

Якщо образи $S,T$ збігаються, то діаграма, що визначає морфізм у $S\downarrow T$ з $\alpha =\beta ,{\alpha }^{\prime }={\beta }^{\prime },g=h$ збігається з діаграмою, що визначає натуральне перетворення $S\to T$. Відмінність між двома визначеннями полягає в тому, що натуральне перетворення — це певний клас морфізмів вигляду $S(\alpha )\to T(\alpha )$, тоді як об'єкти категорії коми — це все морфізми такого вигляду. Функтор у категорію коми може вибрати конкретне сімейство морфізмів. І справді, натуральному перетворенню $\eta :S\to T$, де $S,T:𝒜\to 𝒞$ відповідає функтор $𝒜\to (S\downarrow T)$, який відображає об'єкт $\alpha$ в $(\alpha ,\alpha ,{\eta }_{\alpha })$ і морфізми $g$ в $(g,g)$. Це задає бієкцію між природними перетвореннями $S\to T$ та функторами $𝒜\to (S\downarrow T)$, які є лівими оберненими обох забутливих функторів з $S\downarrow T$.

Література

• С. Маклейн Категории для работающего математика, — Шаблон:М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.