Квазірівномірна збіжність

У математичному аналізі квазірівномірна збіжність є узагальненням поняття рівномірної збіжності. Нехай послідовність функцій $f_n$ топологічного простору $X$ у множину дійсних чисел (чи більш загально у метричний простір $Y$ ) поточково збігається до функції $f$. Тоді збіжність називається квазірівномірною якщо для будь-якого $\epsilon >0$ і будь-якого натурального числа $N$ існує не більш ніж зліченне відкрите покриття $\{U_1,U_2,\dots \}$ простору $X$ і послідовність $n_1,n_2,\dots$ натуральних чисел, де всі $n_i>N,$ що $|f(x)-f_{n_i}(x)|<\epsilon$ для всіх $x\in U_i.$

Поняття квазірівномірної збіжності ввів італійський математик Чезаре Арцела при вивченні необхідних і достатніх умов при яких поточково збіжна послідовність неперервних функцій збігається до теж неперервної функції.

Із означення рівномірної збіжності випливає, що кожна рівномірно збіжна послідовність є квазірівномірно збіжною і при цьому для будь-яких $\epsilon >0$ і $N\in \mathbb{N}$ достатньо взяти покриття із єдиної множини $X,$ а за $n_1$ — будь-яке натуральне число, що задовольняє нерівність $n_1>\max (N,N_{\epsilon }),$ де $N_{\epsilon }$ є натуральним числом, що відповідає $\epsilon$ в означенні рівномірної збіжності.

Якщо топологічний простір є компактним, а послідовність $f_n$ є зростаючою, то навпаки квазірівномірна збіжність є рівномірно. Дійсно із компактності випливає, що для будь-яких $N$ і $\epsilon$ покриття можна вибрати скінченним і тоді для $n=\underset{i}{\max }{n}_i$ нерівність $|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$ виконується для всіх $x\in X.$ Але тоді для всіх $m>n$ також $|f(x)-f_m(x)|<=|f(x)-f_n(x)|<\epsilon$ для всіх $x\in .$ і тому $n$ можна вибрати як число із означення рівномірної неперервності для $\epsilon$. Як наслідок зокрема теорема Діні випливає із теореми Арцела нижче.

Теорема Арцела

Для поточково збіжної послідовності $f_n$ неперервних функцій квазірівномірна збіжність є необхідною та достатньою умовою неперервності граничної функції $f$.

Доведення

Нехай ${\phi }_n(x):=f(x)-f_n(x).$ Якщо $f$ є неперервною то відповідно і всі ${\phi }_n$ є неперервними. Відповідно усі множини $U_{nm}:={\phi }_n^{-1}(-\frac{1}{m},\frac{1}{m})$ для $n,m\in \mathbb{N}$ є відкритими підмножинами простору $X$. Множина цих відкритих підмножин є не більш, ніж зліченною. Точка $x\in X$ належить множині $U_{nm}$ якщо $|{\phi }_n(x)|<\frac{1}{m}$ тобто $|f(x)-f_n(x)|<\frac{1}{m}.$ Із умови поточкової збіжності випливає, що множини $U_{nm}$ утворюють відкрите покриття простору $X.$

Якщо тепер $\epsilon >0$ і $N\in \mathbb{N}$ то для $n>N$ і $m>\frac{1}{\epsilon }$ згідно означень виконується нерівність $|{\phi }_n(x)|<\frac{1}{m}<\epsilon$ для всіх $x\in U_{nm}.$ Множини $U_{nm}$ для $n>N$ і $m>\frac{1}{\epsilon }$ теж утворюють відкрите покриття простору $X.$ Справді якщо $x\in X$ то із означення поточкової збіжності випливає, що для будь-якого $\frac{1}{m}<\epsilon$ для всіх достатньо великих чисел $n$ $|f(x)-f_n(x)|<\frac{1}{m}.$ Зокрема можна вибрати для цього $n>N$ і тоді $x\in U_{nm}.$

Відповідно множини виду $U_{nm}$ для $n>N$ і $m>\frac{1}{\epsilon }$ утворюють не більш ніж зліченне покриття простору $X$ і якщо для множини $U_{nm}$ вибрати число n це покриття задовольняє умову в означенні квазірівномірної збіжності. Тобто збіжність є квазірівномірною, що завершує доведення необхідності.

Нехай тепер збіжність $f_n$ до граничної функції $f$ є квазірівномірною. Достатньо довести, що для будь-якого відкритого проміжку $(a,b)$ прообраз $f^{-1}(a,b)$ є відкритою множиною. Це очевидно є так, якщо прообраз є порожньою множиною. В іншому випадку існує $x\in X$ для якого $f(x)\in (a,b)$ і можна вибрати числа $c,d,\epsilon$ із умовами $a<c<f(x)<d<b$ і $0<\epsilon <\min (c-a,b-d,f(x)-c,d-f(x)).$ Нехай $N$ є довільним натуральним числом і розглянемо покриття із означення квазірівномірної збіжності для $\epsilon$ і $N$. Нехай $U$ є елементом покриття, що містить $x.$ Тоді для деякого $n>N$ для всіх $y\in U$ виконується нерівність $|f(y)-f_n(y)|<\epsilon .$ Зокрема звідси випливає, що $f(x)-\epsilon <f_n(x)<f(x)+\epsilon$ і як наслідок $f_n(x)\in (c,d).$ Оскільки за умовою $f_n(x)$ є неперервною функцією, то $f_n^{-1}(c,d)$ і тому також $V:=U\cap f_n^{-1}(c,d)$ є відкритими множинами, що містять $x.$ Але тоді для будь-якого $y\in V$ також $|f(y)-f_n(y)|<\epsilon$ і $f_n(y)\in (c,d)$ тому $c-\epsilon <f(y)<d+\epsilon .$ Зокрема $f(V)\subset (a,b)$ і $V$ є відкритою множиною, що міститься у $f^{-1}(a,b)$ і містить точку $x.$ Із довільності вибору $x$ випливає, що $f^{-1}(a,b)$ є відкритою множиною і оскільки вибір $(a,b)$ теж був довільним звідси випливає неперервність функції $f$.

Див. також

• Поточкова збіжність
• Рівномірна збіжність
• Теорема Діні
• Теорема Асколі — Арцела

Джерела

• Шаблон:Фіхтенгольц.укр