Перегляд вихідного коду сторінки SIC-POVM

'''Симетрична, інформаційно повна, невід'ємна операторно-значна міра''' (''СІП-НОЗМ'', {{lang-en|SIC-POVM}})&nbsp;— частковий випадок {{Не перекладено|POVM|узагальненого}} [[Квантова механіка|квантовомеханічного]] вимірювання в [[Гільбертів простір|гільбертовому просторі]]. Такий специфічний різновид вимірювання, який має певні корисні властивості, є перспективним кандидатом для «стандартного квантового вимірювання», яке є одним з фундаментальних понять основ квантової механіки. Більш того, оператори SIC-POVM застосовуються у {{Не перекладено|Томографія квантового стану|томографії квантового стану||Quantum tomography}}<ref>{{Стаття | language = en | author = Caves C. M., Fuchs C. A., Schack R. | title = Unknown quantum states: the quantum de Finetti representation | journal = Journal of Mathematical Physics | volume = 43 | pages = 4537–4559 | year = 2002 }} (''[[ArXiv.org|arXiv]]: [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0104088 quant-ph/0104088] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150326200241/http://arxiv.org/abs/quant-ph/0104088 |date=26 березня 2015 }}'')</ref> і [[Квантова криптографія|квантовій криптографії]]<ref>{{Стаття | language = en | author = Fuchs C. A., Sasaki M. | title = Squeezing Quantum Information through a Classical Channel: Measuring the 'Quantumness' of a Set of Quantum States | journal = Quant. Info. Comp | volume = 3 | pages = 377–404 | year = 2003 }} (''[[ArXiv.org|arXiv]]: [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0302092 quant-ph/0302092] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200722203806/https://arxiv.org/abs/quant-ph/0302092 |date=22 липня 2020 }}'')</ref>.

== Означення ==
Через той факт, що оператори SIC-POVM використовуються насамперед у квантовій механіці, елементи [[Гільбертів простір|гільбертового простору]] представлятимуться за допомогою [[Бра-кет нотація|позначень Дірака]].

У загальному випадку, набір операторів {{Не перекладено|POVM}} у <math>d</math>-мірному гільбертовому просторі <math>\mathcal{H}</math> визначається як такий набір <math>M</math> {{Не перекладено|Додатно визначене ядро|додатно напіввизначених операторів||Positive-definite kernel}} <math>\{F_i\} </math> у гільбертовому просторі, що їх сума дорівнює [[Одинична матриця|одиничній матриці]]:

: <math>\sum_{i=1}^M F_i = I.</math>

Набір операторів SIC-POVM, який є частковим випадком POVM, складається з нормованих [[Проєкційна матриця|проєкторів]], що мають один відносно одного властивості симетрії та інформаційної повноти. Умова інформаційної повноти означає, що набір ймовірностей спостереження різних результатів вимірювання будь-якого [[Квантовий стан|квантового стану]] за схемою SIC-POVM повністю визначає цей стан. Для виконання цієї умови набір SIC-POVM повинен складатися з <math>d^2</math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] операторів. У свою чергу, умова симетрії означає, що [[слід матриці#внутрішній добуток|внутрішній добуток]] усіх пар нормованих проєкторів <math>F_i,F_j</math> є постійним:

: <math> \mathrm{Sp}\left( F_i F_j \right) =  \frac{\mathrm{Sp}\left( \Pi_i \Pi_j \right)}{d^2} = \frac{\left| \langle \psi_i | \psi_j \rangle \right|^2}{d^2} = \frac{1}{d^2(d+1)}, \quad i \ne j.</math>

Таким чином, поєднання умов симетрії та інформаційної повноти задає набір <math>M</math>, що складається з операторів виду

: <math> F_i=\frac{1}{d} \Pi_i,</math>

де <math>\Pi_i</math>&nbsp;— проєктор із рангом 1.

== Властивості ==
=== Симетрія ===
Як означено [[SIC-POVM#Означення|вище]], попарно різні внутрішні добутки чистих станів мають дорівнювати константі. Оскільки <math> \frac{1}{d} \sum_\alpha \Pi_\alpha = I</math>, то цю константу <math> \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta ) = \mu^2 \;</math> можна визначити наступним чином:
:<math> d = \mathrm{Sp}(I^2) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \sum_{\alpha,\beta} \mathrm{Sp}(\Pi_\alpha \Pi_\beta) = \displaystyle \frac{1}{d^2} \left( d^2 + \mu^2 d^2 (d^2-1) \right), </math>
звідки:
: <math> \mathrm{Sp}\left( \Pi_i \Pi_j \right) = \left| \langle \psi_i | \psi_j \rangle \right|^2 = \frac{1}{d+1}, \quad i \ne j.</math>

== Зв'язок із рівнонахиленими базисами ==
У ''d''-вимірному гільбертовому просторі, два ''різні'' базиси <math> \left\{|\psi_i\rangle \right\}</math> та <math>\left\{ |\phi_j \rangle \right\} </math> називаються [[Рівнонахилені базиси|рівнонахиленими]], якщо:
: <math>\displaystyle |\langle \psi_i | \phi_j \rangle|^2 = \frac{1}{d}, \quad \forall i,j \in \{1, \dots, d\}. </math>
Це поняття за своєю сутністю схоже до властивості симетрії у SIC-POVM. Так, задача знаходження SIC-POVM еквівалентна до задачі знаходження [[Рівнокутні прямі|рівнокутних прямих]] у '''C'''<sup>''d''</sup>, тоді як повний набір рівнонахилених базисів можна представити у вигляді [[Афінний простір|афінного простору]]. Можна показати, що геометрична структура, яка відповідає задачі знаходження повного набору <math>N+1</math> рівнонахилених базисів, еквівалентна до геометричної структури, що відповідає SIC-POVM<ref>{{Стаття | author = Wooters W. K. | title = Quantum measurements and finite geometry | journal = ''[[ArXiv.org|arXiv]]: [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406032 quant-ph/0406032]''| year = 2004}}</ref>. Але треба відзначити, що еквівалентність цих задач справедлива у сенсі абстрактної геометрії, тому внаслідок того, що простори кожної з цих геометричних структур, взагалі кажучи, відрізняються, не можна точно гарантувати, що розв'язок на одному просторі безпосередньо відповідатиме розв'язкові на іншому.

Прикладом, де така еквівалентність дає результат, є випадок 6-вимірного гільбертового простору, в якому SIC-POVM було знайдено аналітично за допомогою математичного програмного забезпечення, але поки не було знайдено повного набору рівнонахилених базисів<ref>{{Стаття | author = Grassl M. | title = On SIC-POVMs and MUBs in Dimension 6 | journal = ''[[ArXiv.org|arXiv]]: [http://arxiv.org/abs/quant-ph/0406175 quant-ph/0406175]''| year = 2009}}</ref>.

== Виноски ==
{{примітки}}

== Див. також ==
* {{Не перекладено|POVM}}
* [[Вимірювання (квантова механіка)]]
* [[Квантовий байєсіанізм]]
* [[Рівнонахилені базиси]]
* {{Не перекладено|Томографія квантового стану|||Quantum tomography}}

[[Категорія:Квантові вимірювання]]
[[Категорія:Квантова інформатика]]
[[Категорія:Комп'ютеризоване доведення]]
{{phys-stub}}