Перегляд вихідного коду сторінки Q-функція Маркума

У [[Статистика|статистиці]] '''Q-функція Маркума''' <math>Q_M</math> визначається як

: <math>Q_M (a,b) = \int_b^\infty x \left( \frac{x}{a}\right)^{M-1} \exp \left( -\frac{x^2 + a^2}{2} \right) I_{M-1}(ax) \, dx </math>

або як

: <math>Q_M (a,b) = \exp \left( -\frac{a^2 + b^2}{2} \right) \sum_{k=1-M}^\infty \left( \frac{a}{b}\right)^k I_k(ab) </math>

де <math>I_{M-1}</math> [[Функції Бесселя|модифікована функція Бесселя]] порядку&nbsp;''М''&nbsp;&#x2212;&nbsp;1. Q-функція Маркума використовується, наприклад, як [[Функція розподілу ймовірностей|функція розподілу]] (точніше, як функція виживання) для  [[Нецентрований хі розподіл|нецентрованого хі розподілу]], нецентрованого хі-квадрат розподілу та [[Розподіл Райса|розподілу Райса]].

Для нецілих значень ''M'' Q-функцію можна визначити наступним чином<ref>A. Annamalai, C. Tellambura and John Matyjas (2009) ''A New Twist on the Generalized Marcum Q-Function'' ''Q''<sub>''M''</sub>(''a'',&nbsp;''b'') ''with Fractional-Order'' ''M'' ''and Its Applications.'', ''2009 6th IEEE Consumer Communications and Networking Conference'', 1–5, {{ISBN|978-1-4244-2308-8}}</ref>:

: <math>
\begin{align}
Q_M (a,b) & = 1 - e^{-a^2/2} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a^2}{2} \right)^k \frac{\gamma(M+k,\frac{b^2}{2})}{k! \Gamma(M+k)} \\[6pt]
& =1 - e^{-a^2/2} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a^2}{2} \right)^k \frac{P(M+k,\frac{b^2}{2})}{k!}
\end{align}
</math>

де <math>P(s,x)</math> - [[Неповна гамма-функція|регуляризована гамма-функція]].

Q-функція [[Монотонна функція|Маркума]] є [[Монотонна функція|монотонною]] та [[Логарифмічно угнута функція|логарифмічно ввігнутою]]<ref>Yin Sun, Árpád Baricz, and Shidong Zhou (2010) ''On the Monotonicity, Log-Concavity, and Tight Bounds of the Generalized Marcum and Nuttall Q-Functions.'' ''IEEE Transactions on Information Theory'', 56(3), 1166–1186, {{ISSN|0018-9448}}</ref>.

== Джерела ==
{{reflist}}
== Список літератури ==
* Marcum, JI (1950) "Таблиця функцій Q". ''Меморандум про дослідження RAND ВПС США M-339'' . Санта-Моніка, Каліфорнія: Rand Corporation, 1 січня 1950 р.
* Натталл, Альберт Х. (1975): ''[https://dx.doi.org/10.1109/TIT.1975.1055327 Деякі інтеграли, що включають функцію Q <sub>M</sub>]'', ''Транзакції IEEE з теорії інформації'', 21 (1), 95–96,{{ISSN|0018-9448}}
* Вайсштайн, Ерік В. ''Маркум Q-функція.'' З MathWorld - вебресурс Wolfram. [http://mathworld.wolfram.com/MarcumQ-Function.html] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200428222840/https://mathworld.wolfram.com/MarcumQ-Function.html |date=28 квітня 2020 }}
{{statistics-stub}}
[[Категорія:Теорія розподілів імовірності]]
[[Категорія:Функції та відображення]]
[[Категорія:Функції пов'язані з розподілами ймовірностей]]