Перегляд вихідного коду сторінки P-група

{{DISPLAYTITLE:{{mvar|p}}-група}}
У [[математика|математиці]] p-групою, де ''p'' &nbsp;— [[просте число]], називається [[група (математика)|група]] в якій [[порядок елемента|порядок]] кожного елемента є [[степінь|степенем]] числа ''p'', тобто для кожного елемента ''g'' існує [[натуральне число]] ''n,'' що ''g<sup>p<sup>n</sup></sup>=1'' і для всіх додатних ''m < p<sup>n</sup>'' елемент ''g<sup>m</sup>'' не дорівнює нейтральному. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякому степеню числа ''p'' (оскільки згідно [[теореми Силова|теорем Силова]] кожна p-підгрупа, зокрема і сама група має міститися в деякій підгрупі Силова і тому група сама є своєю підгрупою Силова, тобто її порядок є степенем числа ''p''). В основному інтерес становлять саме [[Скінченна p-група|скінченні p-групи]].

== Центр p-групи ==
Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є така теорема:
* [[Центр групи|Центр]] нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

=== Доведення ===
Візьмемо деяку p-групу G (<math>|G| = p^k</math>) і задамо [[дія групи|дію групи]] G на множині G:
: <math>~\phi\colon G\times G \to G; \phi(g,x)=gxg^{-1}</math>

Спершу доведемо, що [[орбіта (теорія груп)|орбіта]] довільного елемента складається лише з того елемента [[тоді і лише тоді]] коли цей елемент належить до центру групи:
: <math>\forall_{x\in G}|G(x)| = 1 \iff x \in Z(G)</math>

Візьмемо довільний <math>g\in G</math>. Тоді:
: <math>gxg^{-1}=x=gg^{-1}x \iff gxg^{-1} = gg^{-1}x \iff x \in Z(G)</math>

Далі доведемо, що, якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент, то її [[Порядок (теорія груп)|порядок]] ділиться на p:
: <math>\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|</math>

Припустимо, що для <math>x \in G</math> маємо <math>|G(x)| > 1</math>. Оскільки [[стабілізатор (теорія груп)|стабілізатор]] <math>G_x</math> є [[підгрупа|підгрупою]] G, то, згідно з [[теорема Лагранжа (теорія груп)|теоремою Лагранжа]], кількість його елементів [[подільність|ділить]] кількість елементів G, отже <math>|G_x|=p^l,l>0</math>. Далі:
: <math>|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^l} = p^{k-l}</math>

G є [[об'єднання множин|об'єднанням]] орбіт:
: <math>G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x)</math>

Звідси отримуємо:
: <math>p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)| + \sum_{i=1}{s}p^{a_i} </math>
де ''s'' &nbsp;— кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі ''a<sub>i</sub>'' більші від нуля. З останньої формули одержуємо, що ''|Z(G)|'' ділиться на ''p''.

== Властивості ==
* Якщо <math>H</math> [[нормальна підгрупа|нормальна]] в <math>P</math>, то <math>|H\cap Z(P)|>1</math>.
: Ця властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти ''H'' замість ''P'' і <math>H \cap Z(P)</math> замість ''Z(P)''.
* Усі p-групи є [[Нільпотентна група|нільпотентними]].

== Скінченні p-групи невеликих порядків ==
{{Див. також|Скінченна p-група}}

=== Число різних <math>p</math>-групп порядку <math>p^n</math> ===

* Число [[Ізоморфізм|неізоморфних]] груп порядку <math>p</math> рівне 1: група <math>C_{p}</math>.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^2</math> рівне 2: групи <math>C_{p^2}</math> і <math>C_{p}\times C_{p}</math>.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^3</math> рівне 5, з них три [[абелева група|абелеві]]: <math>C_{p^3}</math>, <math>C_{p^2}\times C_{p}</math>, <math>C_{p}\times C_{p}\times C_{p}</math> і дві неабелеві: при <math>p>2</math>&nbsp;— <math>E_{p^3}^+</math> і <math>E_{p^3}^-</math>; при p = 2&nbsp;— <math>D_8</math>, <math>Q_8</math>.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^4</math> рівне 15 при <math>p>2</math>, число груп порядку <math>2^4</math> рівне 14.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^5</math> рівне <math>2p + 61  + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4)</math> при <math>p\geq 5</math>. Число груп порядку <math>2^5</math> рівне 51, число груп порядку <math>3^5</math> рівне 67.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^6</math> рівне <math>3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5)</math> при <math>p\geq 5</math>. Число груп порядку <math>2^6</math> рівне 267, число груп порядку <math>3^6</math> рівне 504.
* Число неізоморфних груп порядку <math>p^7</math> рівне <math>3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)</math> при <math>p>5</math>. Число груп порядку <math>2^7</math> рівне 2328, число груп порядк <math>3^7</math> рівне 9310, число груп порядку <math>5^7</math> рівне 34297.

=== p-групи порядку p<sup>n</sup>, асимптотика ===
При <math>n\rightarrow\infty</math> число неізоморфних груп порядку <math>p^n</math> асимптотично рівне <math>p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}</math>.

== Див. також ==
* [[Теореми Силова]]

== Джерела ==
* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{книга
 |автор          = Ганюшкін О. Г., Безущак О. О.
 |назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 
 |ref            =
}}
* {{Курош.Теорія груп}}
* ''Холл М.'' Теория групп. Издательство иностранной литературы&nbsp;— {{М.}}, 1962.
* ''Gorenstein D.'' Finite groups&nbsp;— N.Y.: Harper and Row, 1968.
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}
{{Бібліоінформація}}
[[Категорія:Теорія груп]]