Перегляд вихідного коду сторінки Abc-гіпотеза

{| class="infobox vcard"
! scope="row" class="infobox-label" |Напрямок
| class="infobox-data" |[[Теорія чисел|Теорія Чисел]]
|-
! scope="row" class="infobox-label" |Автори
| class="infobox-data" |<div class="plainlist">
* {{iw|Жозеф Остерле||en|Joseph_Oesterlé}}
* {{iw|Девід Массер||en|David_Masser}}
</div>
|-
! scope="row" class="infobox-label" |Рік
| class="infobox-data" |1985
|-
! scope="row" class="infobox-label" |Еквівалентне 
| class="infobox-data" |{{iw|Удосконалена Гіпотеза Шпіро||en|Szpiro's_conjecture#Modified_Szpiro_conjecture}}
|-
! scope="row" class="infobox-label" |Наслідки
| class="infobox-data" |<div class="plainlist">
* {{iw|Гіпотеза Біла||en|Beal_conjecture}}
* {{iw|Проблема Ердеша–Улама||en|Erdős–Ulam_problem}}
* [[Гіпотеза Морделла]]
* [[Велика теорема Ферма]]
* [[Гіпотеза Ферма — Каталана]]
* [[Міра_ірраціональності#Теорема_Туе_—_Зігеля_—_Рота|Теорема Рота]]
* {{iw|Теорема Тідждемана||en|Tijdeman's_theorem}}
</div>
|}
[[Файл:Oesterle_Joseph.jpg|міні| Математик Джозеф Остерле]]
[[Файл:David_Masser.jpg|міні| Математик Девід Массер]]
'''''Abc-г''іпотеза'''  (також відома як '''гіпотеза Естерле–Массера''' ) — це [[Припущення|гіпотеза]] розділу [[Теорія чисел|теорії чисел]], яка виникла як результат дискусій Джозефа Естерле та Девіда Массера в 1985 році {{Sfn|Oesterlé|1988}} {{sfn|Masser|1985}} Вона виражається в термінах трьох [[Натуральне число|натуральних чисел]] ''a'', ''b'' і ''c'' (звідси й назва), які є [[Взаємно прості числа|взаємно простими]] та задовольняють умову ''a'' + ''b'' = ''c'' . Гіпотеза по суті стверджує, що добуток різних [[Просте число|простих множників]] ''abc'' зазвичай не набагато менший за ''c'' . Низка  гіпотез і теорем теорії чисел випливають безпосередньо з  ''abc-''гіпотези або її версій. Математик Доріан Голдфельд описав цю гіпотезу як «найважливішу невирішену проблему [[Діофантові рівняння|діофантового аналізу]] ». {{Sfn|Goldfeld|1996}}

Abc-гіпотеза виникла як результат спроб Остерле та Массера зрозуміти гіпотезу Шпіро про [[Еліптична крива|еліптичні криві]] <ref>{{Cite journal|last=Fesenko|first=Ivan|date=September 2015|title=Arithmetic deformation theory via arithmetic fundamental groups and nonarchimedean theta-functions, notes on the work of Shinichi Mochizuki|journal=European Journal of Mathematics|volume=1|issue=3|pages=405–440|doi=10.1007/s40879-015-0066-0|doi-access=free}}</ref>, що включає у своє твердження більше геометричних структур, ніж ''abc-''гіпотеза . Було доведено, що ''abc-''гіпотеза еквівалентна модифікованій гіпотезі Шпіро. {{Sfn|Oesterlé|1988}}

Було зроблено багато спроб довести ''abc-''гіпотезу, але наразі жодна з них не прийнята повністю математичною спільнотою, і станом на 2020 рік вона все ще вважається недоведеною. <ref name="nature-2020">{{Cite journal|last=Castelvecchi|first=Davide|date=9 квітня 2020|title=Mathematical proof that rocked number theory will be published|journal=Nature|volume=580|issue=7802|pages=177|bibcode=2020Natur.580..177C|doi=10.1038/d41586-020-00998-2|pmid=32246118|doi-access=free}}</ref> 

== Формулювання ==
Перш ніж сформулювати гіпотезу, слід ввести поняття [[Радикал цілого числа|радикала цілого числа]] : для [[Натуральне число|натурального числа]] ''n'' радикал ''n'', позначається rad( ''n'' ), є добутком різних [[Просте число|простих множників]] ''n'' . Наприклад:
{{Block indent|1=rad(16) = rad(2<sup>4</sup>) = rad(2) = 2,}}{{Block indent|1=rad(17) = 17,}}{{Block indent|1=rad(18) = rad(2 ⋅ 3<sup>2</sup>) = 2 · 3 = 6,}}{{Block indent|1=rad(1000000) = rad(2<sup>6</sup> ⋅ 5<sup>6</sup>) = 2 ⋅ 5 = 10.}}

Якщо ''a'', ''b'' і ''c'' є [[Взаємно прості числа|взаємно простими]] <ref group="notes">When ''a'' + ''b'' = ''c'', coprimality of ''a'', ''b'', ''c'' implies [[Pairwise coprime|pairwise coprimality]] of ''a'', ''b'', ''c''. So in this case, it does not matter which concept we use.</ref> натуральними числами, такими що ''a'' + ''b'' = ''c'', виявляється, що "зазвичай" ''c'' < rad( ''abc'' ). A''bc-гіпотеза'' має справу з винятками. Зокрема, в ній зазначено, що:{{Block indent|1=Для будь-якого додатного [[Дійсне число|дійсного числа]] ''ε'', існує скінченна кількість трійок (''a'', ''b'', ''c'') взаємно простих цілих чисел, які задовільняють умову ''a'' + ''b'' = ''c'', таких, що that{{sfn|Waldschmidt|2015}}
{{block indent|<math>c > \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}.</math>}}}}Еквівалентне формулювання:{{Block indent|1=Для довільного додатного дійсного числа ''ε'', існує константа ''K<sub>ε</sub>'' така що для всіх трійок взаємно простих цілих чисел (''a'', ''b'', ''c'') , таких що ''a'' + ''b'' = ''c'':{{sfn|Waldschmidt|2015}}
{{block indent|<math>c < K_{\varepsilon} \cdot \operatorname{rad}(abc)^{1+\varepsilon}.</math>}}}}Еквівалентно (використовуючи позначення [[Нотація Ландау|o-маленьке]] ):{{Block indent|1=Для всіх трійок (''a'', ''b'', ''c'') взаємно простих додатних цілих чисел таких, що ''a'' + ''b'' = ''c'', rad(''abc'') є щонайменше ''c''<sup>1-''o''(1)</sup>.}}Четверте еквівалентне формулювання гіпотези включає у себе поняття ''якості'' ''q'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ) трійки ( ''a'', ''b'', ''c'' ), що визначається як
{{Block indent|<math> q(a, b, c) = \frac{ \log(c) }{ \log\big(\operatorname{rad}(abc)\big) }.</math>}}
Наприклад:
{{Block indent|1=''q''(4, 127, 131) = log(131) / log(rad(4·127·131)) = log(131) / log(2·127·131) = 0.46820...
:''q''(3, 125, 128) = log(128) / log(rad(3·125·128)) = log(128) / log(30) = 1.426565...}}
Типова трійка ( ''a'', ''b'', ''c'' ) взаємно простих натуральних чисел з умовою ''a'' + ''b'' = ''c'' матиме ''c'' < rad( ''abc'' ), тобто ''q'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ) < 1. Трійки з ''q'' > 1, такі як наведені у другому прикладі, доволі особливі, вони складаються з чисел, які діляться на великі степені малих [[Просте число|простих чисел]] . Третє формулювання:{{Block indent|1=Для довільного натурального числа ''ε'', існує скінченна кількість трійок (''a'', ''b'', ''c'') взаємно простих натуральних чисел, що задовільняють умову ''a'' + ''b'' = ''c'' таких, що ''q''(''a'', ''b'', ''c'') > 1 + ''ε''.}}Оскільки відомо, що існує нескінченна кількість трійок ( ''a'', ''b'', ''c'' ) взаємно простих натуральних чисел з умовою ''a'' + ''b'' = ''c'' таких, що ''q'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ) > 1, то гіпотеза передбачає, що лише скінченна кількість із них мають ''q'' > 1,01 або ''q'' > 1,001 або навіть ''q'' > 1,0001 тощо. Зокрема, якщо гіпотеза вірна, то має існувати така трійка ( ''a'', ''b'', ''c'' ), яка досягає максимально можливої якості ''q'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ).

== Приклади трійок з малим радикалом ==
Умова ''ε'' > 0 є необхідною, оскільки існує нескінченна кількість трійок ''a'', ''b'', ''c'' з ''c'' > rad( ''abc'' ). Наприклад, нехай
{{Block indent|<math>a = 1, \quad b = 2^{6n} - 1, \quad c = 2^{6n}, \qquad n > 1.</math>|style=overflow:scroll}}
Ціле число ''b'' ділиться на 9:
{{Block indent|<math> b = 2^{6n} - 1  =  64^n - 1 = (64 - 1) (\cdots) = 9 \cdot 7 \cdot (\cdots).</math>|style=overflow:scroll}}
Використовуючи цей факт, виконуються такі обчислення:
{{Block indent|<math>\begin{align}
\operatorname{rad}(abc) &= \operatorname{rad}(a) \operatorname{rad}(b) \operatorname{rad}(c) \\
&= \operatorname{rad}(1)  \operatorname{rad} \left ( 2^{6n} -1 \right ) \operatorname{rad} \left (2^{6n} \right ) \\
&= 2 \operatorname{rad} \left ( 2^{6n} -1 \right ) \\
&= 2 \operatorname{rad} \left ( 9 \cdot \tfrac{b}{9} \right )  \\
&\leqslant 2 \cdot 3  \cdot \tfrac{b}{9} \\
&= 2 \tfrac{b}{3} \\
&< \tfrac{2}{3} c.
\end{align}</math>|style=overflow:scroll}}
Замінивши експоненту 6 ''n'' іншими експонентами, змусивши ''b'' мати більші квадратичні множники, співвідношення між радикалом і ''c'' можна зробити як завгодно малим. Зокрема, нехай ''p'' > 2 є простим числом і розглянемо
{{Block indent|<math>a = 1, \quad b = 2^{p(p-1)n} - 1, \quad c = 2^{p(p-1)n}, \qquad n > 1.</math>|style=overflow:scroll}}
Тепер можна стверджувати, що ''b'' ділиться на ''p'' <sup>2</sup> :
{{Block indent|<math>\begin{align}
b &= 2^{p(p-1)n} - 1 \\
&= \left(2^{p(p-1)}\right)^n - 1 \\
&= \left(2^{p(p-1)} - 1\right) (\cdots) \\
&= p^2 \cdot r (\cdots).
\end{align}</math>|style=overflow:scroll}}
Останній крок використовує той факт, що ''p'' <sup>2</sup> ділить 2 <sup>''p'' ( ''p'' −1)</sup> − 1. Це напряму випливає з [[Мала теорема Ферма|малої теореми Ферма]], яка стверджує, що для ''p'' > 2, 2 <sup>''p'' −1</sup> = ''pk'' + 1 для деякого цілого числа ''k'' . Піднесення обох частин до степеня ''p'' показує, що 2 <sup>''p'' ( ''p'' −1)</sup> = ''p'' <sup>2</sup> (...) + 1.

А тепер подібними обчисленнями, як описано вище, отримуємо:
{{Block indent|<math>\operatorname{rad}(abc) < \tfrac{2}{p} c.</math>|style=overflow:scroll}}
Нижче наведено список трійок найвищої якості (трійок з особливо малим радикалом відносно ''c'' ); найвищу якість, 1,6299, виявив Ерік Рейссат {{Harvard citation|Lando|Zvonkin|2004}}   для
{{Block indent|1=''a'' = 2,}}{{Block indent|1=''b'' = 3<sup>10</sup>·109 = {{val|6,436,341}},}}{{Block indent|1=''c'' = 23<sup>5</sup> = {{val|6,436,343}},}}{{Block indent|1=rad(''abc'') = {{val|15042}}.}}

Abc-гіпотеза має велику кількість наслідків. До них належать як відомі результати (деякі з яких були доведені окремо уже після того, як гіпотеза була висловлена), так і гіпотези, для яких вона дає умовне доведення . Серед наслідків:

* [[Міра_ірраціональності#Теорема_Туе_—_Зігеля_—_Рота|Теорема Рота]] про [[Діофантова апроксимація|діофантову апроксимацію]] [[Алгебраїчні числа|алгебраїчних чисел]] . {{Sfnp|Bombieri|1994}} {{Sfn|Waldschmidt|2015}}
* [[Гіпотеза Морделла]] (уже доведена [[Герд Фалтінгс|Гердом Фалтінгсом]] ). {{Sfnp|Elkies|1991}}
* Як еквівалент, гіпотеза Войта в розмірності 1. {{Sfnp|Van Frankenhuijsen|2002}}
* Гіпотеза Ердеша–Вудса, яка допускає кінцеву кількість контрприкладів. {{Sfnp|Langevin|1993}}
* Існування нескінченної кількості [[Просте число Віферіха|невіферіхових простих чисел]] у кожній основі ''b'' > 1. {{Sfnp|Silverman|1988}}
* Слабка форма гіпотези Маршалла Холла про відокремлення квадратів і кубів цілих чисел. {{Sfnp|Nitaj|1996}}
* [[Велика теорема Ферма]] має відомий складний доказ Ендрю Вайлза. Однак це випливає легко, принаймні для <math>n \ge 6</math>, від ефективної форми слабкої версії гіпотези ''abc'' . Гіпотеза ''abc'' говорить, що [[Верхня і нижня границі|lim sup]] набору всіх якостей (визначених вище) дорівнює 1, що передбачає набагато слабше твердження про те, що існує кінцева верхня межа для якостей. Припущення, що 2 є такою верхньою межею, достатньо для дуже короткого доказу останньої теореми Ферма для <math>n \ge 6</math> . <ref>{{Cite journal|last=Granville|first=Andrew|last2=Tucker|first2=Thomas|year=2002|title=It's As Easy As abc|url=https://www.ams.org/notices/200210/fea-granville.pdf|journal=Notices of the AMS|volume=49|issue=10|pages=1224–1231}}</ref>
* [[Гіпотеза Ферма — Каталана|Гіпотеза Ферма-Каталана]], узагальнення [[Велика теорема Ферма|останньої теореми Ферма]] щодо степенів, які є сумами степенів. {{Sfnp|Pomerance|2008}}
* [[L-функція Діріхле|''L'' -функція]] ''L'' ( ''s'', ''χ <sub>d</sub>'' ), утворена за допомогою [[Символ Лежандра|символу Лежандра]], не має нуля Зігеля, враховуючи уніфіковану версію  ''abc-''гіпотези у [[Алгебраїчне числове поле|числових полях]], а не лише ''abc-''гіпотезу, як сформульовано вище для раціональних цілих чисел. {{Sfnp|Granville|Stark|2000}}
* [[Многочлен]] ''P'' ( ''x'' ) має лише скінченну кількість [[Досконалий степінь|досконалих степенів]] для всіх [[Цілі числа|цілих чисел]] ''x'', якщо ''P'' має принаймні три [[Кратність (математика)|прості нулі]] . <ref name="Ref_a">[http://www.math.uu.nl/people/beukers/ABCpresentation.pdf The ABC-conjecture], Frits Beukers, ABC-DAY, Leiden, Utrecht University, 9 September 2005.</ref>
* Узагальнення теореми Тідждемана щодо кількості розв’язків ''y <sup>m</sup>'' = ''x <sup>n</sup>'' + ''k'' (теорема Тідждемана відповідає випадку ''k'' = 1) і гіпотези Піллаї (1931) щодо кількості розв’язків ''Ay <sup>m</sup>'' = ''Bx <sup>n</sup>'' + ''k'' .
* Як еквівалент, гіпотеза Гранвіля–Ланжевена, що якщо ''f'' є бінарною формою без квадратів степеня ''n'' > 2, то для довільного дійсного ''β'' > 2 існує константа ''C'' ( ''f'', ''β'' ), така що для всіх взаємно простих цілих чисел ''x'', ''y'', радикал ''f'' ( ''x'', ''y'' ) перевищує ''C'' · max{| ''х'' |, | ''y'' |} <sup>''n'' − ''β''</sup> . <ref>{{Harvtxt|Mollin|2009}}; {{Harvtxt|Mollin|2010}}</ref>
* Як еквівалент, модифікована гіпотеза Шпіро, яка дасть межу rad( ''abc'' ) <sup>1,2+ ''ε''</sup> . {{Sfn|Oesterlé|1988}}
* {{Harvtxt|Dąbrowski|1996}} показав, що гіпотеза ''abc'' означає, що [[Проблема Брокара|діофантове рівняння ''n'' ! + ''A'' = ''k'' <sup>2</sup>]] має лише скінченну кількість розв’язків для будь-якого даного цілого числа ''A'' .
* Існує ~ ''c'' <sub>''f''</sub> ''N'' додатних цілих чисел ''n'' ≤ ''N'', для яких ''f'' ( ''n'' )/B' є вільним від квадратів, де ''c'' <sub>''f''</sub> > 0 додатна константа, визначена як: {{Sfnp|Granville|1998}}{{Block indent|<math>c_f = \prod_{\text{prime }p} x_i \left ( 1 - \frac{\omega\,\!_f (p)}{p^{2+q_p}} \right ).</math>}}
* Гіпотеза Біла, узагальнення великої теореми Ферма, яка припускає, що якщо ''A'', ''B'', ''C'', ''x'', ''y'' та ''z'' є натуральними числами з ''A <sup>x</sup>'' + ''B <sup>y</sup>'' = ''C <sup>z</sup>'' та ''x'', ''y'', ''z'' > 2, то ''A'', ''B'', і ''C'' мають спільний простий множник. Гіпотеза ''abc'' означатиме, що існує лише кінцева кількість контрприкладів.
* Гіпотеза Ленга, нижня межа для висоти раціональної точки без кручення еліптичної кривої.
* Від'ємний розв’язок проблеми Ердеша–Улама на щільних множинах евклідових точок із раціональними відстанями. <ref>
{{Citation|last=Pasten|first=Hector|doi=10.1007/s00605-016-0973-2|number=1|journal=[[Monatshefte für Mathematik]]|mr=3592123|pages=99–126|title=Definability of Frobenius orbits and a result on rational distance sets|volume=182|year=2017}}
</ref>
* Ефективний варіант теореми Зігеля про цілі точки на алгебраїчних кривих. <ref>{{Arxiv|math/0408168}} [[Andrea Surroca]], Siegel’s theorem and the abc conjecture, Riv. Mat. Univ. Parma (7) 3, 2004, S. 323–332</ref>

== Теоретичні результати ==
''Abc-г''іпотеза  передбачає, що ''c'' може бути [[Верхня та нижня межа|обмежено зверху]] майже лінійною функцією радикала ''abc'' . Відомо, що межі є [[Показникова функція|експоненціальними]] . Зокрема, було доведено такі межі:
{{Block indent|<math>c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) } </math> {{harv|Stewart|Tijdeman|1986}},}}{{Block indent|<math>c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) } </math> {{harv|Stewart|Yu|1991}}, та}}{{block indent|<math>c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3}}\left(\log(\operatorname{rad}(abc)\right)^3\right) } </math> {{harv|Stewart|Yu|2001}}.}}У даних межах ''K'' <sub>1</sub> і ''K'' <sub>3</sub> є [[Константа|константами]], які не залежать від ''a'', ''b'' чи ''c'', а ''K'' <sub>2</sub> є константою, яка залежить від ''ε'' ( [[Обчислювана функція|ефективно обчислюваним]] способом), але не залежить від ''a'', ''b'' або ''c'' . Межі застосовуються до будь-яких трійок, для яких ''c'' > 2.

== Результати обчислень ==
У 2006 році математичний факультет [[Лейденський університет|Лейденського університету]] в Нідерландах спільно з нідерландським науковим інститутом Kennislink запустив проект ABC@Home, [[Ґрід-обчислення|грід- обчислювальну]] систему, метою якої є виявлення додаткових трійок ''a'', ''b'', ''c'' з rad( ''abc'' ) < ''c'' . Хоча жоден скінченний набір прикладів чи контрприкладів не може довести чи спростувати abc-гіпотезу, є сподівання, що закономірності в трійках, які будуть виявлені цим проектом, приведуть до глибшого розуміння цієї гіпотези.
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|+Розподіл трійок з ''q'' > 1<ref name="Ref_d">{{Citation|url=http://www.rekenmeemetabc.nl/?item=h_stats|archiveurl=https://web.archive.org/web/20081222221716/http://rekenmeemetabc.nl/?item=h_stats|url-status=dead|archivedate=December 22, 2008|title=Synthese resultaten|journal=RekenMeeMetABC.nl|access-date=3 жовтня 2012|language=nl}}.</ref>
! scope="col" {{Diagonal split header|''c''|''q''}}
! scope="col" |''q'' > 1
! scope="col" |''q'' > 1.05
! scope="col" |''q'' > 1.1
! scope="col" |''q'' > 1.2
! scope="col" |''q'' > 1.3
! scope="col" |''q'' > 1.4
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>2</sup>
|6
|4
|4
|2
|0
|0
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>3</sup>
|31
|17
|14
|8
|3
|1
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>4</sup>
|120
|74
|50
|22
|8
|3
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>5</sup>
|418
|240
|152
|51
|13
|6
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>6</sup>
|1,268
|667
|379
|102
|29
|11
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>7</sup>
|3,499
|1,669
|856
|210
|60
|17
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>8</sup>
|8,987
|3,869
|1,801
|384
|98
|25
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>9</sup>
|22,316
|8,742
|3,693
|706
|144
|34
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>10</sup>
|51,677
|18,233
|7,035
|1,159
|218
|51
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>11</sup>
|116,978
|37,612
|13,266
|1,947
|327
|64
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>12</sup>
|252,856
|73,714
|23,773
|3,028
|455
|74
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>13</sup>
|528,275
|139,762
|41,438
|4,519
|599
|84
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>14</sup>
|1,075,319
|258,168
|70,047
|6,665
|769
|98
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>15</sup>
|2,131,671
|463,446
|115,041
|9,497
|998
|112
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>16</sup>
|4,119,410
|812,499
|184,727
|13,118
|1,232
|126
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>17</sup>
|7,801,334
|1,396,909
|290,965
|17,890
|1,530
|143
|-
! scope="row" |''c'' < 10<sup>18</sup>
|14,482,065
|2,352,105
|449,194
|24,013
|1,843
|160
|-
|}
Станом на травень 2014 року ABC@Home знайшов 23,8 мільйона трійок. <ref name="Ref_c">{{Citation|url=http://abcathome.com/data/|title=Data collected sofar|journal=ABC@Home|access-date=30 квітня 2014|url-status=dead|archiveurl=https://web.archive.org/web/20140515021303/http://abcathome.com/data/|archivedate=May 15, 2014}}</ref>
{| class="wikitable"
|+{{Якір2|Трійки найвищої якості}}<ref>{{Cite web|url=http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/index.php?set=2|title=100 unbeaten triples|website=Reken mee met ABC|date=2010-11-07}}</ref>
! scope="col" |Rank
! scope="col" |''q''
! scope="col" |''a''
! scope="col" |''b''
! scope="col" |''c''
! class="unsortable" scope="col" |Discovered by
|-
! scope="row" |1
|1.6299
|2
|3<sup>10</sup>·109
|23<sup>5</sup>
|Eric Reyssat
|-
! scope="row" |2
|1.6260
|11<sup>2</sup>
|3<sup>2</sup>·5<sup>6</sup>·7<sup>3</sup>
|2<sup>21</sup>·23
|Benne de Weger
|-
! scope="row" |3
|1.6235
|19·1307
|7·29<sup>2</sup>·31<sup>8</sup>
|2<sup>8</sup>·3<sup>22</sup>·5<sup>4</sup>
|Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
|-
! scope="row" |4
|1.5808
|283
|5<sup>11</sup>·13<sup>2</sup>
|2<sup>8</sup>·3<sup>8</sup>·17<sup>3</sup>
|Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
|-
! scope="row" |5
|1.5679
|1
|2·3<sup>7</sup>
|5<sup>4</sup>·7
|Benne de Weger
|}
Примітка: ''якість'' ''q'' ( ''a'', ''b'', ''c'' ) трійки ( ''a'', ''b'', ''c'' ) визначена вище .

== Уточнені форми, узагальнення та відповідні твердження ==
Гіпотеза ''abc'' є цілочисельним аналогом теореми Мейсона–Стозерса для поліномів.

Сильніша гіпотеза, запропонована {{Harvtxt|Baker|1998}}, стверджує, що в гіпотезі ''abc'' можна замінити rad( ''abc'' ) на
{{Block indent|''ε''<sup>−''ω''</sup> rad(''abc''),}}
де ''ω'' — загальна кількість різних простих чисел, що ділять ''a'', ''b'' і ''c'' . {{Sfnp|Bombieri|Gubler|2006|p=404}}

Ендрю Гранвіль помітив, що мінімум функції <math>\big(\varepsilon^{-\omega}\operatorname{rad}(abc)\big)^{1+\varepsilon}</math> для <math>\varepsilon > 0</math> виникає при <math>\varepsilon = \frac{\omega}{\log\big(\operatorname{rad}(abc)\big)}.</math>

Це надихнуло {{Harvtxt|Baker|2004}} запропонувати чіткішу форму ''abc-''гіпотези, а саме:

{{Block indent|<math>c < \kappa \operatorname{rad}(abc) \frac{\Big(\log\big(\operatorname{rad}(abc)\big)\Big)^\omega}{\omega!}</math>}}

де ''κ'' є абсолютною константою. Після кількох обчислювальних експериментів він виявив, що значення <math>6/5</math> було допустимим для ''κ'' . Ця версія називається «явною гіпотезою ''abc'' ».

{{Harvtxt|Бейкер|1998}} також описав гіпотези [[Ендрю Гранвіль]]я що б дало верхню межу на ''c'' виду:

{{Block indent|<math>K^{\Omega(a b c)} \operatorname{rad}(a b c),</math>}}

де Ω( ''n'' ) — загальна кількість простих множників ''n'', і

{{Block indent|<math>O\big(\operatorname{rad}(a b c) \Theta(a b c)\big),</math>}}

де Θ( ''n'' ) — кількість цілих чисел до ''n'', які діляться лише на прості числа, що ділять ''n'' .

{{Harvtxt|Роберт|Стюарт|Тенанбаум|2014}} запропонували більш точну нерівність базуючись на {{Harvtxt|Роберт|Тенанбаум|2013}}.
Нехай ''k'' = rad(''abc''). Вони припустили, що існує константа ''C''<sub>1</sub> така що

{{Block indent|<math>c < k \exp\left(4\sqrt{\frac{3\log k}{\log\log k}}\left(1+\frac{\log\log\log k}{2\log\log k}+\frac{C_{1}}{\log\log k}\right)\right)</math>}}

виконується, тоді коли існує стала ''C'' <sub>2</sub> така, що

{{Block indent|<math>c > k \exp\left(4\sqrt{\frac{3\log k}{\log\log k}}\left(1+\frac{\log\log\log k}{2\log\log k}+\frac{C_{2}}{\log\log k}\right)\right)</math>}}

виконується нескінченно часто.

{{Harvtxt|Броукін|Бжезинський|1994}} сформулювали [[N припущення|n- гіпотезу]]—версію ''abc'' гіпотезу для цілих чисел ''n'' > 2 .

== Заявлені доведення ==
Люсьєн Шпіро запропонував рішення в 2007 році, але невдовзі у ньому знайшли помилку. <ref>"Finiteness Theorems for Dynamical Systems", Lucien Szpiro, talk at Conference on L-functions and Automorphic Forms (on the occasion of Dorian Goldfeld's 60th Birthday), Columbia University, May 2007. See {{Citation|title=Proof of the abc Conjecture?|first=Peter|last=Woit|author-link=Peter Woit|journal=Not Even Wrong|url=http://www.math.columbia.edu/~woit/wordpress/?p=561|date=26 травня 2007}}.</ref>

З серпня 2012 року [[Мотідзукі Сін'іті|Шінічі Мочізукі]] заявив про доведення гіпотези Шпіро, а отже, ''abc-''гіпотези  . <ref>
{{Cite journal|last=Ball|first=Peter|date=10 вересня 2012|title=Proof claimed for deep connection between primes|url=https://www.nature.com/news/proof-claimed-for-deep-connection-between-primes-1.11378|journal=Nature|doi=10.1038/nature.2012.11378|access-date=19 березня 2018|doi-access=free}}</ref> Він випустив серію з чотирьох препринтів, які включали нову теорію, яку він назвав міжуніверсальною теорією Тейхмюллера (IUTT), яка в подальшому застосовується для підтвердження ''abc-''гіпотези . <ref name="Mochizukiweb">{{Cite journal|last=Mochizuki|first=Shinichi|date=4 березня 2021|title=Inter-universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations|journal=Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences|volume=57|issue=1|pages=627–723|doi=10.4171/PRIMS/57-1-4}}</ref> Статті не були прийняті математичною спільнотою як докази гіпотези. <ref>
{{Cite web|url=https://galoisrepresentations.wordpress.com/2017/12/17/the-abc-conjecture-has-still-not-been-proved/|title=The ABC conjecture has (still) not been proved|last=Calegari|first=Frank|authorlink1=Frank Calegari<!-- stated author is "Persiflage", who can be identified by other refs on the blog to his students -->|date=17 грудня 2017|accessdate=17 березня 2018}}</ref> Це відбулося не лише через їхню довжину та складність розуміння <ref>{{Cite magazine|last=Revell|first=Timothy|date=7 вересня 2017|title=Baffling ABC maths proof now has impenetrable 300-page 'summary'|url=https://www.newscientist.com/article/2146647-baffling-abc-maths-proof-now-has-impenetrable-300-page-summary/|journal=[[New Scientist]]}}</ref>, а й тому, що принаймні один конкретний момент у аргументації був визначений як прогалина деякими іншими експертами. <ref name="stillConj">{{Cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf|title=Why abc is still a conjecture|first=Peter|last=Scholze|authorlink1=Peter Scholze|first2=Jakob|last2=Stix|authorlink2=Jakob Stix|accessdate=23 вересня 2018|archivedate=February 8, 2020|archiveurl=https://web.archive.org/web/20200208075321/http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf|url-status=dead}} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200208075321/http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-08.pdf |date=2020-02-08 }} (updated version of their [http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-05.pdf May report] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200208075318/http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/SS2018-05.pdf |date=2020-02-08 }})</ref> Незважаючи на те, що кілька математиків ручалися за правильність доведення <ref>
{{Cite journal|last=Fesenko|first=Ivan|author-link=Ivan Fesenko|date=28 вересня 2016|title=Fukugen|url=http://www.inference-review.com/article/fukugen|journal=Inference|volume=2|access-date=30 жовтня 2021}}</ref> і намагалися показати своє розуміння через семінари на IUTT, їм не вдалося переконати спільноту математиків теорії чисел. <ref>{{Cite web|url=https://mathbabe.org/2015/12/15/notes-on-the-oxford-iut-workshop-by-brian-conrad/|first=Brian|last=Conrad|authorlink1=Brian Conrad|date=15 грудня 2015|title=Notes on the Oxford IUT workshop by Brian Conrad|accessdate=18 березня 2018}}</ref> <ref>{{Cite journal|last=Castelvecchi|first=Davide|date=8 жовтня 2015|title=The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof|journal=Nature|volume=526|issue=7572|pages=178–181|bibcode=2015Natur.526..178C|doi=10.1038/526178a|pmid=26450038|doi-access=free}}</ref>

У березні 2018 року [[Петер Шольце|Пітер Шольце]] та Якоб Стікс відвідали [[Кіотський університет|Кіото]] для обговорення з Мочізукі. <ref>
{{Cite magazine|last=Klarreich|first=Erica|author-link=Erica Klarreich|date=20 вересня 2018|title=Titans of Mathematics Clash Over Epic Proof of ABC Conjecture|url=https://www.quantamagazine.org/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/|journal=[[Quanta Magazine]]}}</ref> <ref>
{{Cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/IUTch-discussions-2018-03.html|title=March 2018 Discussions on IUTeich|accessdate=2 жовтня 2018}} Web-page by Mochizuki describing discussions and linking consequent publications and supplementary material</ref> Хоча вони не усунули розбіжності, вони чіткіше їх сформулювали. Шольце та Стікс написали звіт, в якому пояснювали помилку в логіці доведення та стверджували, що отримана прогалина була «настільки серйозною, що ... невеликі зміни не врятують стратегію доказу»; <ref name="stillConj"/> Мочізукі стверджував, що вони неправильно зрозуміли життєво важливі аспекти теорії та зробили некоректні спрощення. <ref>
{{Cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Rpt2018.pdf|title=Report on Discussions, Held during the Period March 15 – 20, 2018, Concerning Inter-Universal Teichmüller Theory|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink1=Shinichi Mochizuki|accessdate=1 лютого 2019|quote=the ... discussions ... constitute the first detailed, ... substantive discussions concerning negative positions ... IUTch.}}</ref> <ref>
{{Cite web|url=https://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-05.pdf|title=Comments on the manuscript by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink1=Shinichi Mochizuki|accessdate=2 жовтня 2018|date=July 2018}}</ref> <ref>
{{Cite web|url=http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Cmt2018-08.pdf|title=Comments on the manuscript (2018-08 version) by Scholze-Stix concerning Inter-Universal Teichmüller Theory|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink1=Shinichi Mochizuki|accessdate=2 жовтня 2018}}</ref>

3 квітня 2020 року двоє математиків з Кіотського науково-дослідного інституту, де працює Мочізукі, оголосили, що заявлене ним доведення буде опубліковано в ''публікаціях науково-дослідного інституту математичних наук'', журналі інституту. Мочізукі є головним редактором цього журналу, але він відмовився від рецензування даної статті. <ref name="nature-2020"/> Кіран Кедлая та [[Едвард Френкель]] сприйняли цю заяву зі скептицизмом, а [[Nature|''журнал Nature'']] описав її як «навряд чи приведе багатьох дослідників до табору Мочізукі». <ref name="nature-2020" /> У березні 2021 року доведення Мочізукі було опубліковано в RIMS. <ref>
{{Cite web|url=https://www.ems-ph.org/journals/show_issue.php?issn=0034-5318&vol=57&iss=1|title=Mochizuki's proof of ABC conjecture|first=Shinichi|last=Mochizuki|authorlink1=Shinichi Mochizuki|accessdate=13 липня 2021}}</ref>

== Дивіться також ==

* [[Відкриті математичні питання|Список нерозв'язаних задач з математики]]

== Список літератури ==
<references group="notes" responsive="0"></references>

== Джерела ==
{{Refbegin|25em}}
*{{Cite book
|title=Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996
|last=Baker
|first=Alan
|authorlink1=Alan Baker (mathematician)
|year=1998
|editor-last=Győry
|editor-first=Kálmán
|publisher=de Gruyter
|location=Berlin
|pages=37–44
|chapter=Logarithmic forms and the ''abc''-conjecture
|isbn=3-11-015364-5
|zbl=0973.11047
}}
*{{Cite journal|last=Baker|first=Alan|author-link=Alan Baker (mathematician)|year=2004|title=Experiments on the ''abc''-conjecture|url=https://publi.math.unideb.hu/load_pdf.php?p=972|journal=Publicationes Mathematicae Debrecen|volume=65|issue=3–4|pages=253–260}}
*{{Cite journal|last=Bombieri|first=Enrico|year=1994|title=Roth's theorem and the abc-conjecture|type=Preprint|publisher=ETH Zürich}}{{Неавторитетне джерело|still only preprint after all these years?}}
*{{Cite book
|title=Heights in Diophantine Geometry
|last=Bombieri
|first=Enrico
|authorlink1=Enrico Bombieri
|last2=Gubler
|first2=Walter
|year=2006
|series=New Mathematical Monographs
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|volume=4
|isbn=978-0-521-71229-3
|zbl=1130.11034
}}
*{{Cite journal|last=Browkin|first=Jerzy|author-link=Jerzy Browkin|last2=Brzeziński|first2=Juliusz|year=1994|title=Some remarks on the ''abc''-conjecture|url=https://archive.org/details/sim_mathematics-of-computation_1994-04_62_206/page/931|journal=Math. Comp.|volume=62|issue=206|pages=931–939|bibcode=1994MaCom..62..931B|doi=10.2307/2153551|jstor=2153551}}
* {{Cite book
|url=https://archive.org/details/numbertheory00bamb_636
|title=Number Theory
|last=Browkin
|first=Jerzy
|year=2000
|editor-last=Bambah
|editor-first=R. P.
|editor2-last=Dumir
|editor2-first=V. C.
|editor3-last=Hans-Gill
|editor3-first=R. J.
|series=Trends in Mathematics
|publisher=Birkhäuser
|location=Basel
|pages=[https://archive.org/details/numbertheory00bamb_636/page/n83 75]–106
|chapter=The ''abc''-conjecture
|isbn=3-7643-6259-6
}}
*{{Cite journal|last=Dąbrowski|first=Andrzej|year=1996|title=On the diophantine equation ''x''! + ''A'' = ''y''<sup>2</sup>|journal=Nieuw Archief voor Wiskunde, IV.|volume=14|pages=321–324|zbl=0876.11015}}
*{{Cite journal|last=Elkies|first=N. D.|author-link=Noam Elkies|year=1991|title=ABC implies Mordell|journal=International Mathematics Research Notices|volume=1991|issue=7|pages=99–109|doi=10.1155/S1073792891000144|doi-access=free}}
* {{Cite book
|title=Modular Forms and Fermat's Last Theorem
|last=Frey
|first=Gerhard
|authorlink1=Gerhard Frey
|year=1997
|publisher=Springer
|location=New York
|pages=527–548
|chapter=On Ternary Equations of Fermat Type and Relations with Elliptic Curves
|isbn=0-387-94609-8
}}
*{{Cite journal|last=Goldfeld|first=Dorian|author-link=Dorian M. Goldfeld|year=1996|title=Beyond the last theorem|journal=[[Math Horizons]]|volume=4|issue=September|pages=26–34|doi=10.1080/10724117.1996.11974985|jstor=25678079}}
* {{Cite book
|title=A panorama in number theory or The view from Baker's garden. Based on a conference in honor of Alan Baker's 60th birthday, Zürich, Switzerland, 1999
|url=https://archive.org/details/isbn_9780521807999
|last=Goldfeld
|first=Dorian
|authorlink1=Dorian M. Goldfeld
|year=2002
|editor-last=Wüstholz
|editor-first=Gisbert
|editor-link=Gisbert Wüstholz
|publisher=[[Cambridge University Press]]
|location=Cambridge
|pages=[https://archive.org/details/isbn_9780521807999/page/128 128]–147
|chapter=Modular forms, elliptic curves and the abc-conjecture
|isbn=0-521-80799-9
|zbl=1046.11035
}}
* {{Cite book
|title=The Princeton Companion to Mathematics
|year=2008
|editor-last=Gowers
|editor-first=Timothy
|editor-link=Timothy Gowers
|editor2-last=Barrow-Green
|editor2-first=June
|editor3-last=Leader
|editor3-first=Imre
|publisher=Princeton University Press
|location=Princeton
|pages=[https://archive.org/details/princetoncompani00gowe_360/page/n672 361]–362, 681
|isbn=978-0-691-11880-2
}}
*{{Cite journal|last=Granville|first=A.|author-link=Andrew Granville|year=1998|title=ABC Allows Us to Count Squarefrees|url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/polysq3.pdf|journal=International Mathematics Research Notices|volume=1998|issue=19|pages=991–1009|doi=10.1155/S1073792898000592|doi-access=free}}
*{{Cite journal|last=Granville|first=Andrew|author-link=Andrew Granville|last2=Stark|first2=H.|year=2000|title=ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent|url=http://www.dms.umontreal.ca/~andrew/PDF/NoSiegelfinal.pdf|journal=[[Inventiones Mathematicae]]|volume=139|issue=3|pages=509–523|bibcode=2000InMat.139..509G|doi=10.1007/s002229900036}}
*{{Cite journal|last=Granville|first=Andrew|author-link=Andrew Granville|last2=Tucker|first2=Thomas|year=2002|title=It's As Easy As abc|url=https://www.ams.org/journals/notices/200210/fea-granville.pdf|journal=[[Notices of the AMS]]|volume=49|issue=10|pages=1224–1231|citeseerx=10.1.1.146.610}}
* {{Cite book
|title=Unsolved Problems in Number Theory
|url=https://archive.org/details/unsolvedproblems0003guyr
|last=Guy
|first=Richard K.
|authorlink1=Richard K. Guy
|year=2004
|publisher=[[Springer-Verlag]]
|location=Berlin
|isbn=0-387-20860-7
}}
* {{Cite encyclopedia|isbn=3-540-00203-0}}
*{{Cite journal|last=Langevin|first=M.|year=1993|title=Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture ''abc''|journal=Comptes rendus de l'Académie des sciences|language=fr|volume=317|issue=5|pages=441–444}}
*{{Cite book
|title=Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory
|last=Masser
|first=D. W.
|authorlink1=David Masser
|year=1985
|editor-last=Chen
|editor-first=W. W. L.
|publisher=Imperial College
|location=London
|chapter=Open problems
}}
*{{Cite journal|last=Mollin|first=R.A.|year=2009|title=A note on the ABC-conjecture|url=http://people.ucalgary.ca/~ramollin/abcconj.pdf|journal=Far East Journal of Mathematical Sciences|volume=33|pages=267–275|issn=0972-0871|zbl=1241.11034|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304053930/http://people.ucalgary.ca/~ramollin/abcconj.pdf|archive-date=2016-03-04|access-date=2013-06-14|url-status=dead}}
*{{Cite book
|title=Advanced number theory with applications
|url=https://archive.org/details/advancednumberth0000moll
|last=Mollin
|first=Richard A.
|year=2010
|publisher=CRC Press
|location=Boca Raton, FL
|isbn=978-1-4200-8328-6
|zbl=1200.11002
}}
*{{Cite journal|last=Nitaj|first=Abderrahmane|year=1996|title=La conjecture ''abc''|journal=Enseign. Math.|language=fr|volume=42|issue=1–2|pages=3–24}}
*{{Citation|last=Oesterlé|first=Joseph|author-link=Joseph Oesterlé|title=Nouvelles approches du "théorème" de Fermat|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1987-1988__30__165_0|series=Séminaire Bourbaki exp 694|mr=992208|year=1988|journal=Astérisque|issn=0303-1179|number=161|pages=165–186}}
*{{Cite book
|title=The Princeton Companion to Mathematics
|last=Pomerance
|first=Carl
|authorlink1=Carl Pomerance
|year=2008
|publisher=Princeton University Press
|pages=361–362
|chapter=Computational Number Theory
}}
*{{Cite journal|last=Silverman|first=Joseph H.|author-link=Joseph H. Silverman|year=1988|title=Wieferich's criterion and the ''abc''-conjecture|journal=[[Journal of Number Theory]]|volume=30|issue=2|pages=226–237|doi=10.1016/0022-314X(88)90019-4|zbl=0654.10019|doi-access=free}}
*{{Cite journal|last=Robert|first=Olivier|last2=Stewart|first2=Cameron L.|author-link2=Cameron Leigh Stewart|last3=Tenenbaum|first3=Gérald|author-link3=Gérald Tenenbaum|year=2014|title=A refinement of the abc conjecture|url=https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01281526/file/abc.pdf|journal=[[Bulletin of the London Mathematical Society]]|volume=46|issue=6|pages=1156–1166|doi=10.1112/blms/bdu069}}
* {{Cite journal|last=Robert|first=Olivier|last2=Tenenbaum|first2=Gérald|date=November 2013|title=Sur la répartition du noyau d'un entier|trans-title=On the distribution of the kernel of an integer|journal=Indagationes Mathematicae|language=fr|volume=24|issue=4|pages=802–914|doi=10.1016/j.indag.2013.07.007|doi-access=free}}
*{{Cite journal|last=Stewart|first=C. L.|author-link=Cameron Leigh Stewart|last2=Tijdeman|first2=R.|author-link2=Robert Tijdeman|year=1986|title=On the Oesterlé-Masser conjecture|journal=Monatshefte für Mathematik|volume=102|issue=3|pages=251–257|doi=10.1007/BF01294603}}
*{{Cite journal|last=Stewart|first=C. L.|author-link=Cameron Leigh Stewart|last2=Yu|first2=Kunrui|author-link2=Kunrui Yu|year=1991|title=On the ''abc'' conjecture|journal=[[Mathematische Annalen]]|volume=291|issue=1|pages=225–230|doi=10.1007/BF01445201}}
*{{Cite journal|last=Stewart|first=C. L.|author-link=Cameron Leigh Stewart|last2=Yu|first2=Kunrui|author-link2=Kunrui Yu|year=2001|title=On the ''abc'' conjecture, II|journal=[[Duke Mathematical Journal]]|volume=108|issue=1|pages=169–181|doi=10.1215/S0012-7094-01-10815-6}}
*{{Cite journal|last=Van Frankenhuijsen|first=Machiel|year=2002|title=The ABC conjecture implies Vojta's height inequality for curves|journal=[[J. Number Theory]]|volume=95|issue=2|pages=289–302|doi=10.1006/jnth.2001.2769|mr=1924103|doi-access=free}}
*{{Cite book
|title=Mathematics in the 21st Century
|last=Waldschmidt
|first=Michel
|year=2015
|series=Springer Proceedings in Mathematics & Statistics
|volume=98
|pages=211–230
|chapter=Lecture on the abc Conjecture and Some of Its Consequences
|doi=10.1007/978-3-0348-0859-0_13
|isbn=978-3-0348-0858-3
}}
{{Refend}}

== Посилання ==
* [https://web.archive.org/web/20100917032533/http://abcathome.com/apps.php ABC@home] [[Розподілені обчислення|Distributed computing]] project called {{iw|ABC@Home||en|ABC@Home}}.
* [http://bit-player.org/2007/easy-as-abc Easy as ABC]: Easy to follow, detailed explanation by Brian Hayes.
* {{MathWorld|urlname=abcConjecture|title=abc Conjecture}}
* Abderrahmane Nitaj's [https://web.archive.org/web/20000819203144/http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html ABC conjecture home page]
* Bart de Smit's [http://www.math.leidenuniv.nl/~desmit/abc/ ABC Triples webpage]
* http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
* [http://dash.harvard.edu/bitstream/handle/1/2793857/Elkies%20-%20ABCs%20of%20Number%20Theory.pdf?sequence=2 The ABC's of Number Theory] by {{iw|Noam D. Elkies||en|Noam_D._Elkies}}
* [http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/scanQuest.pdf Questions about Number] by {{iw|Barry Mazur||en|Barry_Mazur}}
* [https://mathoverflow.net/q/106560 Philosophy behind Mochizuki’s work on the ABC conjecture] on {{iw|MathOverflow||en|MathOverflow}}
* [http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=ABC_conjecture ABC Conjecture] {{iw|Polymath project||en|Polymath_project}} wiki page linking to various sources of commentary on Mochizuki's papers.
* [https://www.youtube.com/watch?v=RkBl7WKzzRw abc Conjecture] Numberphile video
* [http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/news-english.html News about IUT by Mochizuki]

[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:З'явилися 1985]]
[[Категорія:Математичні гіпотези]]
[[Категорія:Усі статті з неавторитетними джерелами]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]