Перегляд вихідного коду сторінки 3j-символи

У [[квантова механіка|квантовій механіці]] '''3''-jm''-символи''' Вігнера, або як їх ще називають 3''j''-символи, що співвідносяться з [[коефіцієнти Клебша — Ґордана|коефіцієнтами Клебша&nbsp;— Ґордана]] так:
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\equiv \frac{(-1)^{j_1-j_2-m_3}}{\sqrt{2j_3+1}} \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 \, {-m_3} \rangle.
</math>

== Зворотне відношення ==

Зворотне відношення можна знайти приймаючи до уваги, що ''j''<sub>1</sub> - ''j''<sub>2</sub> - ''m''<sub>3</sub> є [[ціле число|цілим числом]] й роблячи заміну
<math> m_3 \rightarrow -m_3 </math>
:<math>
\langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle = (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.
</math>

== Властивості симетрії ==

Завдяки їх властивостям симетрії користуватися 3''j''-символами значно зручніше, ніж [[коефіцієнти Клебша — Ґордана|коефіцієнтами Клебша&nbsp;— Ґордана]]. <!-- Щоб сформулювати властивості 3''j''-символу, зручно спочатку записати його у вигляді квадратної таблиці з розмірністю 3×3
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{matrix}
  j_2 + j_3 - j_1 & j_3 + j_1 - j_2 & j_1 + j_2 - j_3\\
  j_1 - m_1 & j_2 - m_2 & j_3 - m_3 \\
  j_1 + m_1 & j_2 + m_2 & j_3 + m_3
\end{matrix}
</math>
де сума чисел у кожному рядку та стопчику рівна <math>j_1 + j_2 + j_3</math>.
Тоді -->
3''j''-символ є інваріантним (не змінює свого значення) щодо парної кількості перестановок його стовпчиків:
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_3 & j_1\\
  m_2 & m_3 & m_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  j_3 & j_1 & j_2\\
  m_3 & m_1 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>
В той час як непарна кількість перестановок його стовпчиків додає фазовий множник, який в залежності від суми j<sub>1</sub>+j<sub>2</sub>+j<sub>3</sub> може приймати значення ''1'' чи ''-1''
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_2 & j_1 & j_3\\
  m_2 & m_1 & m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_3 & j_2\\
  m_1 & m_3 & m_2
\end{pmatrix}.
</math>
Зміна знаку на протилежний біля усіх [[квантове число|квантових чисел]] <math>m</math> додає такий же фазовий множник:
:<math>
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -m_1 & -m_2 & -m_3
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j_1+j_2+j_3}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}.
</math>

== Правила відбору ==

3j-символи Вігнера завжди рівні '''нулю''' за виключенням випадків, коли одночасно виконуються всі такі умови:

:<math>m_1+m_2+m_3=0\,</math>

:<math>j_1+j_2 + j_3\,</math> є [[цілі числа|цілим числом]]

:<math>|m_i| \le j_i</math> 

:<math>|j_1-j_2|\le j_3 \le j_1+j_2</math> («правило трикутника»).

== Обчислення ==

Явний вираз для обчислення 3j-символу є досить громіздким й може бути записаний так:<ref name="landau"> Ландау Л.Д., Ліфшиц Є.М. «Квантова механіка. Нерелятивістська теорія», збірка «Теоретична фізика», том 3, Москва «Наука», 1989 </ref>
::<math>
\begin{align}\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
&  = \delta(m_1+m_2+m_3,0) (-1)^{j_1 - j_2 - m_3} {} \sqrt{\frac{(j_1+j_2-j_3)!(j_1-j_2+j_3)!(-j_1+j_2+j_3)!}{(j_1+j_2+j_3+1)!}}\ \times {} \\[6pt]
&\times\sqrt{(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!(j_3-m_3)!(j_3+m_3)!}\ \times {} \\[6pt]
&\times\sum_{k=-\infty}^{+\infty} \frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j_3-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j_3-j_2+m_1+k)!(j_3-j_1-m_2+k)!},
\end{align}
</math>
де знак '''!''' вказує на [[факторіал]] числа, а сумування проводиться по всім цілим ''k''. Але оскільки факторіал від'ємного числа дорівнює <math>-\infty</math>, то маємо скінченне число членів суми.


===Формули для 3j-символів для простих випадків<ref name="landau" /> ===

Випадок 
:<math>
\begin{pmatrix}
  j +\frac{1}{2} & j & \frac{1}{2}\\
  m  & -m - \frac{1}{2} & \frac{1}{2}
\end{pmatrix}
=
(-1)^{j - m -\frac{1}{2}} \left[\frac{j - m - \frac{1}{2}}{(2j+1)(2j+2)} \right]^\frac{1}{2}
</math>.

Випадок 
:<math>
(-1)^{j - m}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j & 1\\
  m & -m -m_3 & m_3
\end{pmatrix}
</math>
{| align="center" class="standard"
|+
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=0</math> 
|-----
| <math>j</math>
| <math>\frac{2m}{[2j(2j+1)(2j+2)]^\frac{1}{2}}</math>
|-----
| <math>j+1</math>
| <math>-[\frac{2(j+m+1)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=1</math>
|-----
| <math>j</math>
| <math>[\frac{2(j-m)(j+m+1)}{[2j(2j+1)(2j+2)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+1</math>
| <math>-[\frac{(j-m)(j-m+1)}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|+
|}

Випадок 
:<math>
(-1)^{j - m +\frac{1}{2}}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j & \frac{3}{2}\\
  m & -m -m_3 & m_3
\end{pmatrix}
</math>
{| align="center" class="standard"
|+
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=\frac{1}{2}</math> 
|-----
| <math>j+\frac{1}{2}</math>
| <math>-(j + 3m +\frac{3}{2})[\frac{j - m +\frac{1}{2}}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+\frac{3}{2}</math>
| <math>-[\frac{3(j-m+\frac{1}{2})(j-m+\frac{3}{2})(j+m+\frac{3}{2})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=\frac{3}{2}</math>
|-----
| <math>j+\frac{1}{2}</math>
| <math>[\frac{3(j-m-\frac{1}{2})(j-m+\frac{1}{2})(j+m+\frac{3}{2})}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+\frac{3}{2}</math>
| <math>-[\frac{(j-m-\frac{1}{2})(j-m+\frac{1}{2})(j-m+\frac{3}{2})}{(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}]^\frac{1}{2}</math>
|+
|}


Випадок 
:<math>
(-1)^{j - m}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j & 2\\
  m & -m -m_3 & m_3
\end{pmatrix}
</math>
{| align="center" class="standard"
|+
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=0</math> 
|-----
| <math>j</math>
| <math>\frac{2[3m^2-j(j+1)]}{[(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)]^\frac{1}{2}}</math>
|-----
| <math>j+1</math>
| <math>-2m[\frac{6(j+m+1)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+2</math>
| <math>[\frac{6(j+m+2)(j+m+1)(j-m+2)(j-m+1)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=1</math> 
|-----
| <math>j</math>
| <math>(1 + 2m)[\frac{6(j+m+1)(j-m)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+1</math>
| <math>-2(j + 2m +2)[\frac{(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+2</math>
| <math>2[\frac{(j+m+2)(j-m+2)(j-m+1)(j-m)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
! |<math>j_1=</math>
! |<math>m_3=2</math>
|-----
| <math>j</math>
| <math>[\frac{6(j-m-1)(j-m)(j+m+1)(j+m+2)}{(2j-1)2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+1</math>
| <math>-2[\frac{(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j+m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)}]^\frac{1}{2}</math>
|-----
| <math>j+2</math>
| <math>[\frac{(j-m-1)(j-m)(j-m+1)(j-m+2)}{2j(2j+1)(2j+2)(2j+3)(2j+4)(2j+5)}]^\frac{1}{2}</math>
|+
|}

== Скалярний інваріант ==

[[Стиснення (теорія операторів)|Стискуюче відображення]] добутку трьох станів обертання з 3''j''-символом,
:<math>
  \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2} \sum_{m_3=-j_3}^{j_3}
  |j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\rangle |j_3 m_3\rangle
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix},
</math>
є інваріантним щодо операцій обертання.

== Відношення ортогональності ==
<math>
(2j+1)\sum_{m_1 m_2}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j'\\
  m_1 & m_2 & m'
\end{pmatrix}
=\delta_{j j'}\delta_{m m'};
</math>

<math>
\sum_{j m} (2j+1)
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1 & m_2 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j\\
  m_1' & m_2' & m
\end{pmatrix}
=\delta_{m_1 m_1'}\delta_{m_2 m_2'},
</math>

де <math> \delta_{j j'}, \delta_{m m'}, \delta_{m_1 m_1'}</math> та <math>\delta_{m_2 m_2'}</math> є [[символ Кронекера|символами Кронекера]].

==Відношення до сферичних гармонік==

Результат обчислення [[Інтеграл|інтегралу]] від [[добуток|добутку]] трьох [[сферичні гармоніки|сферичних гармонік]] можна подати у вигляді 3j-символів таким чином
:<math>\int Y_{l_1m_1}(\theta,\varphi)Y_{l_2m_2}(\theta,\varphi)Y_{l_3m_3}(\theta,\varphi)\,\sin\theta\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}\varphi=
\sqrt{\frac{(2l_1+1)(2l_2+1)(2l_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  l_1 & l_2 & l_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
</math>
де <math>l_1</math>, <math>l_2</math> та <math>l_3</math>&nbsp;— [[цілі числа]].

== Відношення до інтегралів спін-зважених сферичних гармонік ==

<math>
\int  Y_{j_1 m_1}({\mathbf{\hat n}}{}_{s_2}) Y_{j_2m_2}({\mathbf{\hat n}}{}_{s_3}) Y_{j_3m_3}({\mathbf{\hat
n}}) \; d{\mathbf{\hat n}} {}_{s_1} = \sqrt{\frac{(2j_1+1)(2j_2+1)(2j_3+1)}{4\pi}}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & m_3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  -s_1 & -s_2 & -s_3
\end{pmatrix}
</math>

== Інші властивості ==

<math>\sum_m (-1)^{j+m}
\begin{pmatrix}
  j & j & J\\
  m & -m & 0
\end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2j+1}{2J+1}}\delta_{J0}
</math>

<math>
\frac{1}{2} \int_{-1}^1 P_{l_1}(x)P_{l_2}(x)P_{l}(x) dx = 
\begin{pmatrix}
  l & l_1 & l_2 \\
  0 & 0 & 0
\end{pmatrix} ^2
</math>

==Див.також==
* [[коефіцієнти Клебша — Ґордана]]
* [[Сферичні гармоніки]]
* [[6j-символи]]
* [[9j-символи]]
* [[12j-символи]]
* [[15j-символи]]

== Джерела ==
{{reflist}}
<references />
<!-- ----------------------------------------------------------
  Подивіться [[:en:Wikipedia:Footnotes]] щодо 
  дискусії про різні методи цитування та як генерувати примітки 
  використовуючи теги <ref>, </ref> та <reference />
----------------------------------------------------------- -->
<div class="references">
*L. C. Biedenharn and J. D. Louck, ''Angular Momentum in Quantum Physics'', volume 8 of Encyclopedia of Mathematics,  Addison-Wesley, Reading, 1981.
* D. M. Brink and G. R. Satchler, ''Angular Momentum'', 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.  
* A. R. Edmonds,  ''Angular Momentum in Quantum Mechanics'', 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
*{{dlmf|id=34 |title=3j,6j,9j Symbols|first=Leonard C.|last= Maximon}}
* D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, ''Quantum Theory of Angular Momentum'', World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
* E. P. Wigner, "On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups", unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, ''Quantum Theory of Angular Momentum'', Academic Press, New York (1965).
*{{Cite journal
|first1=Marcos
|last1=Moshinsky
|title=Wigner coefficients for the SU<sub>3</sub> group and some applications
|journal=Rev. Mod. Phys.
|volume=34
|year=1962
|page=813
|doi=10.1103/RevModPhys.34.813
|issue=4
}}
*{{Cite journal
|first1=G. E.
|last1=Baird
|first2=L. C.
|last2=Biedenharn
|title=On the representation of the semisimple Lie Groups. II.
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-mathematics-and-physics_1963-11_4_11/page/n104
|journal=J. Math. Phys.
|volume=4
|year=1963
|page=1449
|doi=10.1063/1.1703926
}}
*{{Cite journal
|first1=J. J.
|last1=Swart
|title=The octet model and its Glebsch-Gordan coefficients
|journal=Rev. Mod. Phys.
|volume=35
|year=1963
|page=916
|doi=10.1103/RevModPhys.35.916
|issue=4
}}
*{{Cite journal
|first1=G. E.
|last1=Baird
|first2=L. C.
|last2=Biedenharn
|title=On the representations of the semisimple Lie Groups. III. The explicit conjugation Operation for SU<sub>n</sub>
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-mathematics-and-physics_1964-12_5_12/page/1723
|journal=J. Math. Phys.
|volume=5
|year=1964
|page=1723
|doi=10.1063/1.1704095
}}
*{{Cite journal
|first1=Hisashi
|last1=Horie
|title=Representations of the symmetric group and the fractional parentage coefficients
|journal=J. Phys. Soc. Jpn.
|volume=19
|year=1964
|page=1783
|doi=10.1143/JPSJ.19.1783
}}
*{{Cite journal
|first1=S. J.
|last1=P. McNamee
|first2=Frank
|last2=Chilton
|title=Tables of Clebsch-Gordan coefficients of SU<sub>3</sub>
|journal=Rev. Mod. Phys.
|volume=36
|year=1964
|page=1005
|doi=10.1103/RevModPhys.36.1005
|issue=4
|last3=Chilton
|first3=Frank
}}
*{{Cite journal
|first1=K. T.
|last1=Hecht
|title=SU<sub>3</sub> recoupling and fractional parentage in the 2s-1d shell
|journal=Nucl. Phys.
|volume=62
|year=1965
|page=1
|doi=10.1016/0029-5582(65)90068-4
|issue=1
}}
*{{Cite journal
|first1=C.
|last1=Itzykson
|first2=M.
|last2=Nauenberg
|title=Unitary groups: representations and decompositions
|journal=Rev. Mod. Phys.
|volume=38
|year=1966
|page=95
|doi=10.1103/RevModPhys.38.95
|issue=1
}}
*{{Cite journal
|first1=P.
|last1=Kramer
|title=Orbital fractional parentage coefficients for the harmonic oscillator shell model
|journal=Z. Physik
|volume=205
|year=1967
|page=181
|doi=10.1007/BF01333370
|issue=2
}}
*{{Cite journal
|first1=P.
|last1=Kramer
|title=Recoupling coefficients of the symmetric group for shell and cluster model configurations
|journal=Z. Physik
|volume=216
|year=1968
|page=68
|doi=10.1007/BF01380094
|issue=1
}}
*{{Cite journal
|first1=K. T.
|last1=Hecht
|first2=Sing Ching
|last2=Pang
|title=On the Wigner Supermultiplet Scheme
|url=https://archive.org/details/sim_journal-of-mathematics-and-physics_1969-09_10_9/page/1571
|journal=J. Math. Phys.
|volume=10
|year=1969
|page=1571
|doi=10.1063/1.1665007
|issue=9
}}
*{{Cite journal
|first1=K. J.
|last1=Lezuo
|title=The symmetric group and the Gel'fand basis of U(3). Generalizations of the Dirac identity
|journal=J. Math. Phys.
|volume=13
|year=1972
|page=1389
|doi=10.1063/1.1666151
|issue=9
}}
*{{Cite journal
|first1=J. P.
|last1=Draayer
|first2=Yoshimi
|last2=Akiyama
|title=Wigner and Racah coefficients for SU<sub>3</sub>
|journal=J. Math. Phys.
|volume=14
|year=1973
|page=1904
|doi=10.1063/1.1666267
|number=12
}}
*{{Cite journal
|first1=Yoshimi
|last1=Akiyama
|first2=J. P.
|last2=Draayer
|title=A users' guide to fortran programs for Wigner and Racah coefficients of SU<sub>3</sub>
|journal=Comp. Phys. Comm.
|volume=5
|year=1973
|page=405
|doi=10.1016/0010-4655(73)90077-5
}}
*{{Cite journal
|first1=Josef
|last1=Paldus
|title=Group theoretical approach to the configuration interaction and perturbation theory calculations for atomic and molecular systems
|journal=J. Chem. Phys
|volume=61
|year=1974
|page=5321
|doi=10.1063/1.1681883
|issue=12
}}
*{{Cite journal
|first1=E. M.
|last1=Haacke
|first2=J. W.
|last2=Moffat
|first3=P.
|last3=Savaria
|title=A calculation of SU(4) Glebsch-Gordan coefficients
|journal=J. Math. Phys.
|volume=17
|year=1976
|page=2041
|doi=10.1063/1.522843
|issue=11
}}
*{{Cite journal
|first1=Josef
|last1=Paldus
|title=Unitary-group approach to the many-electron correlation problem: Relation of Gelfand and Weyl tableau formulations
|journal=Phys. Rev. A.
|volume=14
|year=1976
|page=1620
|doi=10.1103/PhysRevA.14.1620
|issue=5
}}
*{{Cite journal
|first1=R. P.
|last1=Bickerstaff
|first2=P. H.
|last2=Butler
|first3=M. B.
|last3=Butts
|first4=R. w.
|last4=Haase
|first5=M. F.
|last5=Reid
|title=3jm and 6j tables for some bases of SU<sub>6</sub> and SU<sub>3</sub>
|journal=J. Phys. A
|volume=15
|year=1982
|page=1087
|doi=10.1088/0305-4470/15/4/014
}}
*{{Cite journal
|first1=C. R.
|last1=Sarma
|first2=G. G.
|last2=Sahasrabudhe
|title=Permutational symmetry of many particle states
|journal=J. Math. Phys.
|volume=21
|year=1980
|page=638
|doi=10.1063/1.524509
|issue=4
}}
*{{Cite journal
|first1=Jin-Quan
|last1=Chen
|first2=Mei-Juan
|last2=Gao
|title=A new approach to permutation group representation
|journal=J. Math. Phys.
|volume=23
|year=1982
|page=928
|doi=10.1063/1.525460
}}
*{{Cite journal
|first1=C. R.
|last2=Sarma
|title=Determination of basis for the irreducible representations of the unitary group for U(p+q)&darr;U(p)&times;U(q)
|journal=J. Math. Phys.
|volume=23
|year=1982
|page=1235
|doi=10.1063/1.525507
|issue=7
|last1=Sarma
}}
*{{Cite journal
|first1=J.-Q.
|last1=Chen
|first2=X.-G.
|last2=Chen
|title=The Gel'fand basis and matrix elements of the graded unitary group U(m/n)
|journal=J. Phys. A
|volume=16
|year=1983
|page=3435
|doi=10.1088/0305-4470/16/15/010
|issue=15
}}
*{{Cite journal
|first1=R. S.
|last1=Nikam
|first2=K. V.
|last2=Dinesha
|first3=C. R.
|last3=Sarma
|title=Reduction of inner-product representations of unitary groups
|journal=J. Math. Phys.
|volume=24
|year=1983
|page=233
|doi=10.1063/1.525698
|issue=2
}}
*{{Cite journal
|first1=Jin-Quan
|last1=Chen
|first2=David F.
|last2=Collinson
|first3=Mei-Juan
|last3=Gao
|title=Transformation coefficients of permutation groups
|journal=J. Math. Phys.
|volume=24
|year=1983
|page=2695
|doi=10.1063/1.525668
}}
*{{Cite journal
|first1=Jin-Quan
|last1=Chen
|first2=Mei-Juan
|last2=Gao
|first3=Xuan-Gen
|last3=Chen
|title=The Clebsch-Gordan coefficient for SU(m/n) Gel'fand basis
|journal=J. Phys. A
|volume=17
|year=1984
|page=481
|doi=10.1088/0305-4470/17/3/011
|issue=3
}}

</div>

== Посилання ==
* [http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml Калькулятор коефіцієнтів Вінера, створений Антоні Стоуном] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100911194759/http://www-stone.ch.cam.ac.uk/wigner.shtml |date=11 вересня 2010 }} (дає точну відповідь)
* [https://web.archive.org/web/20070929011249/http://www.volya.net/vc/vc.php Вебкалькулятор для коефіцієнтів Клебша-Ґордана, 3j- та 6j-символів] (чисельно)
* [http://plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html Калькулятор для 369j-символів, розроблений у Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20100605033721/http://plasma-gate.weizmann.ac.il/369j.html |date=5 червня 2010 }} (чисельно)

[[Категорія:Симетрія обертання]]
[[Категорія:Представлення теорії групи Лі]]
[[Категорія:Квантова механіка]]