Перегляд вихідного коду сторінки 3D-проєкція

{{вичитати}}
{{Проєкції}}
'''3D проєкція'''&nbsp;— це будь-який спосіб відображення тривимірних точок на двовимірній площині. Оскільки більшість сучасних методів для відображення графічних даних базуються на [[Планарність (комп'ютерна графіка)|планарних]] (піксельна інформація з декількох [[Бітова площина|бітових площин]]) двомірних середовищах, використання цього типу проєкції широко поширене, особливо в галузі комп'ютерної графіки, інженерії та [[креслення]].

== Ортогональна проєкція ==
{{Main|Ортогональна проєкція}}
Коли людське око дивиться на сцену, віддалені об'єкти виглядають меншими, ніж об'єкти поруч. Ортогональна проєкція нехтує цим ефектом, що дозволяє створювати креслення в масштабі для будівництва і машинобудування.

[[Ортогональна проєкція]]&nbsp;— це невеликий набір перетворень, який часто використовується, щоб показати профіль, деталі або точні розміри тривимірного об'єкта.

Якщо [[Нормаль (геометрія)|нормаль]] [[Площина зображення|площини перегляду]] (напрямок камери) паралельна одній з координатних осей (тобто, <math>X</math>, <math>Y</math> або осі <math>Z</math>), то математичне перетворення виглядає наступним чином;
Для проєктування 3D-точки <math>a_x</math>, <math>a_y</math>, <math>a_z</math> на 2D точку <math>b_x</math>, <math>b_y</math> ортогональною проєкцією, яка паралельна осі Y (вид профілю), то можна використати наступні рівняння:

: <math>
b_x = s_x a_x + c_x
</math>
: <math>
b_y = s_z a_z + c_z
</math>
де вектор '''s'''&nbsp;— довільний масштабний коефіцієнт, а '''c''' являє собою довільне зміщення. Ці константи не є обов'язковими, і можуть бути використані, щоб правильно вирівняти вікно перегляду. При використанні [[Множення матриць|матричного множення]], рівняння мають такий вигляд:
: <math>
 \begin{bmatrix}
   {b_x }  \\
   {b_y }  \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
   {s_x } & 0 & 0 \\
   0 & 0 & {s_z }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   {a_x }  \\
   {a_y }  \\
   {a_z }  \\
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
   {c_x }  \\
   {c_z }  \\
\end{bmatrix}
</math>.

У той час як орфографічно проєктовані зображення являють собою тривимірну природу проєктованого об'єкта, вони не уявляють об'єкт, як це було б записано фотографічно або, як це сприймається глядачем, який безпосередньо спостерігає за ним. Зокрема, паралельні довжини у всіх точках на ортогонально проєктованому зображенні одного і того ж масштабу, незалежно від того, чи є вони далеко або близько до віртуального перегляду. В результаті, довжини біля до глядача не малюються в ракурсі, як вони б виглядали в перспективному проєктуванні.

== Слабка перспективна проєкція ==

«Слабка» перспективна проєкція використовує ті ж принципи ортогональної проєкції, але вимагає коефіцієнт масштабування, який необхідно вказати, таким чином гарантуючи, що ближчі об'єкти здаються більшими в проєкції, і навпаки. Це можна розглядати як [[гібрид]] між ортогональною і перспективною проєкціями, і описується або як перспективна проєкція з окремими глибинами точки <math>Z_{i}</math> заміненими середнім постійним глибини <math>Z_{ave}</math>,<ref>{{cite web |url = http://www.cse.iitd.ernet.in/~suban/vision/affine/node5.html |title = The Weak-Perspective Camera |author = Subhashis Banerjee |date = 2002-02-18 |accessdate = 26 травня 2016 |archive-date = 3 березня 2016 |archive-url = https://web.archive.org/web/20160303174957/http://www.cse.iitd.ernet.in/~suban/vision/affine/node5.html }}</ref> або просто як ортогональна проєкція з масштабуванням.<ref>{{cite techreport |first = T. D. |last = Alter |title = 3D Pose from 3 Corresponding Points under Weak-Perspective Projection |url = http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/6611/AIM-1378.pdf |publisher = [[Лабораторія комп’ютерних наук і штучного інтелекту МТІ]] |date = July 1992 |accessdate = 4 грудня 2016 |archive-date = 17 серпня 2017 |archive-url = https://web.archive.org/web/20170817125453/http://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/6611/AIM-1378.pdf }}</ref>

Таким чином, слабко-перспективна модель апроксимує перспективну проєкцію, використовуючи простішу модель, схожу на чисту (немасштабовану) ортогональну проєкцію. Це розумне зближення, коли глибина об'єкта уздовж лінії візування мала в порівнянні з відстанню від камери, а поле зору маленьке. При цих умовах можна припустити, що всі точки на 3D-об'єкті знаходяться на однаковій відстані <math>Z_{ave}</math> від камери, без суттєвих помилок у проєкції (в порівнянні з повною перспективною моделлю).

== Перспективна проєкція ==
{{see also|Матриця переходу}}
Коли людське око бачить сцену, об'єкти на відстані здаються менше, ніж об'єкти поруч&nbsp;— це відомо як [[Аксонометрія|перспектива]]. У той час як ортогональна проєкція ігнорує цей ефект, щоб дозволити точні вимірювання, перспективна проєкція показує, що віддалені об'єкти менше, щоб забезпечити додатковий реалізм.

Перспективна проєкція вимагає більш активну участь визначення в порівнянні з ортогональною проєкцією. Концептуальною допомогою у розумінні механіки цієї проєкції є уявлення 2D проєкції, ніби об'єкт або об'єкти в цей час розглядається через видошукач камери. Положення камери, орієнтація і поле зору управління поведінкою перетворення проєкції. Наступні змінні визначені для опису цієї трансформації:
* <math>\mathbf{a}_{x,y,z}</math>&nbsp;— 3D-положення точки <math>A</math>, яка повинна бути спроєктована.
* <math>\mathbf{c}_{x,y,z}</math>&nbsp;— 3D-положення точки <math>C</math>, що представляє камеру.
* <math>\mathbf{\theta}_{x,y,z}</math>&nbsp;— [[орієнтація (геометрія)|орієнтація]] камери (представлена [[Ейлерові кути|кутами Ейлера]]).
* <math>\mathbf{e}_{x,y,z}</math>&nbsp;— глядацьке положення щодо поверхні дисплея<ref>{{Cite journal
|author=Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek
|title=Planar Geometric Projections and Viewing Transformations
|journal={{Нп|ACM Computing Surveys}}
|volume=10
|issue=4
|pages=465–502
|year=1978
|doi=10.1145/356744.356750
|url=http://www.cs.uns.edu.ar/cg/clasespdf/p465carlbom.pdf
|postscript=<!--None-->
|accessdate=26 травня 2016
|archive-date=4 березня 2016
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304054350/http://www.cs.uns.edu.ar/cg/clasespdf/p465carlbom.pdf
}}.</ref> яка проходить через точку <math>C</math>, яка представляє камеру.
Що призводить до:
* <math>\mathbf{b}_{x,y}</math>&nbsp;— 2D-проєкція <math>\mathbf{a}</math>.

Коли <math>\mathbf{c}_{x,y,z}=\langle 0,0,0\rangle,</math> та <math>\mathbf{\theta}_{x,y,z} = \langle 0,0,0\rangle,</math> 3D-вектор <math>\langle 1,2,0 \rangle</math> проєктується на 2D вектор <math>\langle 1,2 \rangle</math>.

В іншому випадку, для обчислення <math>\mathbf{b}_{x,y}</math> ми спочатку визначимо вектор <math>\mathbf{d}_{x,y,z}</math> як положення точки <math>A</math> стосовно [[Система координат|системи координат]], визначеній камерою, з початком в <math>C</math>, і повернутої на <math>\mathbf{\theta}</math> відносно початкової системи координат. Це досягається шляхом [[Додавання матриць|віднімання матриці]] <math>C</math> з <math>A</math> і потім застосування обертання по <math>-\mathbf{\theta}</math>. Це перетворення часто називають перетворенням камери, і воно може бути виражене, висловлюючи обертання в термінах обертань навколо осей <math>X</math>, <math>Y</math>, і <math>Z</math> (ці розрахунки мають на увазі те, що осі впорядковані як [[Декартова система координат#Орієнтація осей|лівостороння]] система осей):
<!--Orthogonal transformation (pg 931) and Matrix and Adaptation for n-dimensional arbitrary rotation (pg 942):--><ref>{{cite book
  | last = Riley | first = K F
  | title = Mathematical Methods for Physics and Engineering
  | url = https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile | year = 2006
  | publisher = [[Cambridge University Press]]
  | pages = [https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile/page/931 931], 942
  | doi = 10.2277/0521679710
  | isbn = 0-521-67971-0 }}
</ref>
<!--Related form, using rotation around intermediate axes--><ref>{{cite book
  | last = Goldstein| first = Herbert
  | title = Classical Mechanics
  | url = https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639| edition= 2nd
  | year = 1980
  | pages = [https://archive.org/details/classicalmechani00gold_639/page/n161 146]–148
  | isbn = 0-201-02918-9
  | publisher = Addison-Wesley Pub. Co.
  | location = Reading, Mass. }}
</ref>
: <math>
\begin{bmatrix}
   \mathbf{d}_x \\
   \mathbf{d}_y \\
   \mathbf{d}_z \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0  \\
   0 & {\cos ( \mathbf{- \theta}_x ) } & { - \sin ( \mathbf{- \theta}_x ) }  \\
   0 & { \sin ( \mathbf{- \theta}_x ) } & { \cos ( \mathbf{- \theta}_x ) }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   { \cos ( \mathbf{- \theta}_y ) } & 0 & { \sin ( \mathbf{- \theta}_y ) }  \\
   0 & 1 & 0  \\
   { - \sin ( \mathbf{- \theta}_y ) } & 0 & { \cos ( \mathbf{- \theta}_y ) }  \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   { \cos ( \mathbf{- \theta}_z ) } & { - \sin ( \mathbf{- \theta}_z ) } & 0  \\
   { \sin ( \mathbf{- \theta}_z ) } & { \cos ( \mathbf{- \theta}_z ) } & 0  \\
   0 & 0 & 1  \\
\end{bmatrix}\left( {\begin{bmatrix}
   \mathbf{a}_x  \\
   \mathbf{a}_y  \\
   \mathbf{a}_z  \\
\end{bmatrix} - \begin{bmatrix}
   \mathbf{c}_x  \\
   \mathbf{c}_y  \\
   \mathbf{c}_z  \\
\end{bmatrix}} \right)
</math>
Це уявлення відповідає обертанню на три [[Ейлерові кути|кута Ейлера]], використовуючи конвенцію <math>XYZ</math>, яку можна інтерпретувати як «обертання навколо зовнішніх осей (осі сцени) в порядку <math>Z</math>, <math>Y</math>, <math>X</math> (читання справа наліво)» або «поворот навколо власних осей (осі камери) в порядку <math>X</math>, <math>Y</math>, <math>Z</math> (читання зліва-направо)». Зверніть увагу, що якщо камера не повертається (<math>\mathbf{\theta}_{x,y,z} = \langle 0,0,0\rangle</math>), то матриці випадають (як тотожності), і це зводиться до простого зрушення: <math>\mathbf{d} = \mathbf{a} - \mathbf{c}.</math>

Як альтернатива, без використання матриць:
: <math>
\begin{array}{lcl}
	\mathbf{d}_x = c_y (s_z \mathbf{y}+c_z \mathbf{x})-s_y \mathbf{z} \\
	\mathbf{d}_y = s_x (c_y \mathbf{z}+s_y (s_z \mathbf{y}+c_z \mathbf{x}))+c_x (c_z \mathbf{y}-s_z \mathbf{x}) \\
	\mathbf{d}_z = c_x (c_y \mathbf{z}+s_y (s_z \mathbf{y}+c_z \mathbf{x}))-s_x (c_z \mathbf{y}-s_z \mathbf{x}) \\
\end{array}
</math>
:(де <math>\mathbf{x}</math> = <math>a_x - c_x</math> і т. д., <math>c_\alpha</math> = <math>\cos\left(\theta_\alpha\right)</math>, <math>s_\alpha</math> = <math>\sin\left(\theta_\alpha\right)</math>).

Це перетворення точки потім може проєктуватися на 2D площині, використовуючи формулу (тут ''x''/''у'', використовується як площина проєкції; у літературі також може використовуватися ''x''/''z''):<ref>
{{Cite book
  | last1 = Sonka | first1 = M
  | last2 = Hlavac | first2 = V
  | last3 = Boyle | first3 = R
  | title = Image Processing, Analysis & Machine Vision | edition= 2nd
  | publisher = Chapman and Hall
  | year = 1995
  | pages = 14
  | isbn = 0-412-45570-6
  | postscript = <!--None--> }}
</ref>
: <math>
\begin{array}{lcl}
 \mathbf{b}_x &= & \frac{\mathbf{e}_z}{\mathbf{d}_z} \mathbf{d}_x - \mathbf{e}_x \\
 \mathbf{b}_y &= & \frac{\mathbf{e}_z}{\mathbf{d}_z} \mathbf{d}_y - \mathbf{e}_y\\
\end{array}.
</math>

Або в матричній формі з використанням [[Однорідні координати|однорідних координат]], система
: <math>
\begin{bmatrix}
   \mathbf{f}_x \\
   \mathbf{f}_y \\
   \mathbf{f}_z \\
   \mathbf{f}_w \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
   1 & 0 & -\frac{\mathbf{e}_x}{\mathbf{e}_z} & 0 \\
   0 & 1 & -\frac{\mathbf{e}_y}{\mathbf{e}_z} & 0 \\
   0 & 0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1/\mathbf{e}_z & 0 \\
\end{bmatrix}\begin{bmatrix}
   \mathbf{d}_x  \\
   \mathbf{d}_y  \\
   \mathbf{d}_z  \\
   1 \\
\end{bmatrix}
</math>
в поєднанні з аргументами, використання подібних трикутників призводить до поділу однорідними координатами, даючи
: <math>
\begin{array}{lcl}
 \mathbf{b}_x &= &\mathbf{f}_x / \mathbf{f}_w \\
 \mathbf{b}_y &= &\mathbf{f}_y / \mathbf{f}_w \\
\end{array}.
</math>

Відстань від поверхні дисплея до глядача, <math>\mathbf{e}_z</math>, безпосередньо пов'язана з полем зору, де <math>\alpha=2 \cdot \tan^{-1}(1/\mathbf{e}_z)</math> це розглянутий кут.

Наведені вище рівняння можна переписати таким чином:
: <math>
\begin{array}{lcl}
 \mathbf{b}_x= (\mathbf{d}_x \mathbf{s}_x ) / (\mathbf{d}_z \mathbf{r}_x) \mathbf{r}_z\\
 \mathbf{b}_y= (\mathbf{d}_y \mathbf{s}_y ) / (\mathbf{d}_z \mathbf{r}_y) \mathbf{r}_z\\
\end{array}.
</math>
В якому <math>\mathbf{s}_{x,y}</math>&nbsp;— розмір дисплея, <math>\mathbf{r}_{x,y}</math>&nbsp;— розмір робочої поверхні диска (наприклад [[Прилад із зарядовим зв'язком|CCD]]), <math>\mathbf{r}_z</math> відстань від поверхні запису центру камери, та <math>\mathbf{d}_z</math> це відстань, від 3D точки проєктування, до ока користувача.

Подальші операції відсікання і масштабування можуть бути необхідними для відображення 2D площини на будь-якому дисплеї.

== Схема ==

[[Файл:Perspective transform diagram.svg]]

Для того, щоб визначити, який ''x''-координатний екран відповідає точці, в <math>A_x,A_z</math> помножимо координати точки на:
: <math>B_x = A_x \frac{B_z}{A_z}</math>
де
: <math>B_x</math> ''x'' координата екрана.
: <math>A_x</math> ''x'' координата моделі.
: <math>B_z</math> [[фокусна відстань]]&nbsp;— осьова відстань від {{Нп|Модель фотокамери без об'єктива|центра камери||Pinhole camera model}} до [[Площина зображення|площини зображення]].
: <math>A_z</math> це відстань до об'єкта.

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Посилання ==
{{Commons category|3D projection}}
* [https://web.archive.org/web/20101201161340/http://nccasymposium.bmth.ac.uk/2007/muhittin_bilginer/index.html A case study in camera projection]
* [https://web.archive.org/web/20110823014910/http://nccasymposium.bmth.ac.uk/2009/McLaughlin_Chris/McLaughlin_C_WebBasedNotes.pdf Creating 3D Environments from Digital Photographs]

[[Категорія:Стереометрія]]
[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Графічні проєкції]]