Перегляд вихідного коду сторінки Ядро та образ лінійного оператора

В [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]] і [[функціональний аналіз|функціональному аналізі]] для [[лінійний оператор|лінійного оператора]] <math>\ L: V \to W</math> 

'''Ядром лінійного оператора''' називається наступна [[підмножина]] <math>\ V</math>:
:<math>\ker{(L)} = \{ v \in V: \; L(v)=0 \}</math>
:вона утворює [[лінійний підпростір]] в [[Векторний простір|просторі]] <math>\ V.</math>

'''Образом лінійного відображення''' називається наступна підмножина <math>\ W</math>:
:<math>\operatorname{im}(L)=\{ w \in W: \; w=L(v), v \in V \}</math>
:вона утворює лінійний підпростір в просторі <math>\ W.</math>

Ядро оператора ще називають '''нуль-простором оператора''' і позначають: <math>\operatorname{null}(L).</math>

== Властивості ==

* Два елементи з ''V'' мають однаковий образ в ''W'' тоді і тільки тоді коли їх різниця належить ядру ''L'':
:<math>L(v) = L(w) \quad \iff \quad (v-w) \in \ker{(L)}.</math>

Тобто образ ''L'' є [[ізоморфізм|ізоморфним]] до [[фактор-простір|фактор-простору]] в ''V'' утвореного ядром:
:<math>\text{im}(L) \cong V / \ker(L)\text{.}</math>

:(див. [[Теореми про ізоморфізми|Першу теорему про ізоморфізми]] для лінійних просторів).

* Якщо в ''V'' визначений [[скалярний добуток]], тоді ''V''&nbsp;/&nbsp;ker(''L'') може бути представленим як [[ортогональне доповнення]] до ker(''L'') в ''V''.

== Простори скінченної розмірності і матриці ==

Коли ''V'' та ''W'' є просторами скінченної розмірності ''n'' та ''m'' відповідно, тоді в них можна вибрати [[базис (математика)|базиси]] і задати лінійний оператор L множенням на матрицю A розміру ''m''-на-''n'': <math>v \mapsto \mathbf{A}v.</math>

Визначення ядра матриці записується як <math>\ker{(\mathbf{A})} = \{ x \in V: \; \mathbf{A}x=0 \}</math>, тобто еквівалентно множині розв'язків однорідної [[СЛАР]].

=== Rank-nullity теорема ===
Між розмірностями образу і ядра існує наступне співвідношення (rank-nullity theorem):
:<math> \dim(\ker {L}) + \dim(\operatorname{im}{\,L}) = \dim(V)</math>

Число <math>\dim(\operatorname{im}{\,L})</math> називається ''рангом'' <math> \ L</math> і записується як 
<math>\operatorname{rank}{(L)}</math> чи <math>\operatorname{rk}{(L)}.</math>

Ранг відображення збігається з [[ранг матриці|рангом матриці]] відображення.

=== Основна теорема лінійної алгебри ===
Матриця A ( rank A = r) вводить чотири фундаментальні [[лінійний підпростір|підпростори]]:

::{| class="standart" border="1"
|-
! Назва
! Визначення
! Простір в якому існує
! Розмірність
|-
| '''простір стовпців''' чи '''образ'''
| im(A) чи range(A)
| <math>\R^m</math>
| ''r''
|-
| '''нульпростір''' чи '''ядро'''
| ker(A) чи null(A)
| <math>\R^n</math>
| ''n — r''
|-
| '''простір рядків''' чи '''кообраз'''({{iw|Coimage||en|Coimage}})
| im(A<sup>T</sup>) чи range(A<sup>T</sup>)
| <math>\R^n</math>
| ''r''
|-
| '''лівий нульпростір''' чи '''[[Коядро (теорія категорій)|коядро]]'''
| ker(A<sup>T</sup>) чи null(A<sup>T</sup>)
| <math>\R^m</math>
| ''m — r''
|}

* В <math>\R^n \;\; \ker{(A)} = (\mathrm{im}(A^T))^\perp</math>, тобто, нульпростір є [[ортогональне доповнення|ортогональним доповненням]] простору рядків.
* В <math>\R^m \;\; \ker{(A^T)} = (\mathrm{im}(A))^\perp</math>, тобто, лівий нульпростір є ортогональним доповненням простору стовпців.

== Див. також ==
* [[Проєкційна матриця]]

== Джерела ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]