Перегляд вихідного коду сторінки Число Пелля

{{unibox}}'''Число Пелля'''&nbsp;— [[ціле число]], що є знаменником у нескінченній [[Числова послідовність|послідовності]] [[Ланцюговий дріб|ланцюгових дробів]] для [[Квадратний корінь з двох|квадратного кореня з двох]]. Ця послідовність наближень починається дробами: <math>1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, \dots</math>, тобто перші числа Пелля&nbsp;— 1, 2, 5, 12 і 29. Чисельники тієї самої послідовності наближень є половинами '''супутних чисел Пелля''' або '''числами Пелля&nbsp;— Люка'''&nbsp;— нескінченої послідовності, що починається з 2, 6, 14, 34 і 82.

Обидві послідовності — числа Пелля і супутні числа Пелля — можуть бути обчислені за допомогою [[Рекурентне співвідношення|рекурентної формули]], схожої на формули для [[Числа Фібоначчі|чисел Фібоначчі]], і обидві послідовності чисел [[Експонентне зростання|зростають експоненціально]], пропорційно [[степінь|степеню]] [[Срібний перетин|срібного перетину]] <math>1+\sqrt 2</math>.
Крім використання в ланцюговому дробу наближень до квадратного кореня з двох, числа Пелля можна застосувати для пошуку [[квадратне трикутне число|квадратних трикутних чисел]] і для вирішення деяких [[комбінаторика|комбінаторних задач]] перерахування.<ref>Наприклад, Селлерс (''Sellers'') в 2002 році показав, що кількість [[Досконале паросполучення|досконалих паросполучень]] в [[Декартів добуток графів|декартовому добутку]] [[Граф(математика)|шляхів]] і графу ''K''<sub>4</sub>-''e'' може бути обчислена як добуток числа Пелля на відповідне число Фібоначчі</ref>

Послідовність чисел Пелля відома з давніх часів, хоча [[Леонард Ейлер]] помилково приписав їх відкриття [[Джон Пелл|Джону Пеллю]] (як і [[рівняння Пелля]]). Числа Пелля&nbsp;— Люка названі на честь [[Едуард Люка|Едуарда Люка]], який вивчав ці послідовності. І числа Пелля, і супутні числа Пелля є окремими випадками [[Послідовність Люка|послідовностей Люка]].

== Числа Пелля ==
Числа Пелля задаються [[Лінійна рекурентна послідовність|лінійним рекурентним співвідношенням]]:
: <math>P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{cases}</math>
і є окремим випадком [[послідовність Люка|послідовності Люка]].

Перші кілька чисел Пелля
: {{Age num|2015}}, [[1 (число)|1]], [[2 (число)|2]], [[5 (число)|5]], [[12 (число)|12]], [[29 (число)|29]], [[70 (число)|70]], [[169 (число)|169]], 408, 985, 2378, … ({{OEIS|id=A000129}}).

Числа Пелля можна виразити формулою
: <math>P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.</math>
Для великих значень '' n '' член <math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n</math> домінує в цьому виразі, так що числа Пелля приблизно пропорційні ступені [[Срібний перетин|срібного перетину]] <math>\scriptstyle (1+\sqrt 2)</math>, також як швидкість росту чисел Фібоначчі дорівнює ступені [[Золотий перетин|золотого перетину]].

Можливо і третє визначення&nbsp;— у вигляді [[Матриця (математика)|матричної]] формули
: <math>\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.</math>

Багато тотожностей можуть бути доведені з цих визначень, наприклад тотожність, аналогічне {{Не перекладено|Тотожність Кассіні|тотожності Кассіні|ru|Тождество Кассини}} для чисел Фібоначчі,
: <math>P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^n,</math>
як негайний наслідок матричної формули (підставляючи [[Визначник|визначники]] матриць ліворуч і праворуч).<ref>Про матричну формулу і її наслідках дивіться Ерколано (Ercolano) (1979), Кілік (Kilic) і Таскі (Tasci) (2005). Інші тотожності для чисел Пелля наведені Хорадамом (Horadam) (1971) і Бікнелл (Bicknell) (1975).</ref>

== Наближення до квадратного кореня з двох ==
[[Файл:Pell octagons.svg|thumb|300px|Раціональне наближення до правильних [[восьмикутник]]ів, із координатами з чисел Пелля]]
 
Числа Пелля виникли історично з [[Діофантова апроксимація|раціональних наближень]] до [[Квадратний корінь з двох|квадратного кореня з двох]].
Якщо два великих цілих ''x'' і ''y'' дають рішення [[Рівняння Пелля|рівняння Пелля]]
: <math>\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,</math>

то їх відношення <math>\tfrac{x}{y}</math> дає близьке наближення до <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>.
Послідовність наближень цього виду
: <math>1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots</math>
де знаменник кожного дробу&nbsp;— число Пелля, а чисельник дорівнює сумі числа Пелля і його попередника в послідовності. Таким чином, наближення мають вигляд <math>\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}</math>.

Наближення
: <math>\sqrt 2\approx\frac{577}{408}</math>
цього типу було відомо математикам Індії в третьому-четвертому столітті до нашої ери.<ref>Це записано в [[Shulba Sutras]]. Дивіться, наприклад, Дутка (Dutka) (1986), який цитував Тібаута (Thibaut) (1875)</ref>
Грецькі математики п'ятого століття до нашої ери також знали про це наближення.<ref>Дивись Кнорра (Knorr) (1976) з посиланням на п'яте століття, що відповідає твердженням [[Прокл Діадох|Прокл]]а, що числа відкрили [[Піфагореїзм|піфагорійці]]. Повніші дослідження щодо знань давніх греків про ці числа дивись у Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Ріденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), і Філепа (Filep) (1999).</ref>
[[Платон]] посилається на чисельники як '''раціональні діаметри'''.<ref>Наприклад, у [[Держава (Платон)|«Державі» Платона]] є посилання на «раціональний діаметр пчті», під яким [[Платон]] мав на увазі 7, чисельник наближення 7/5.</ref>
У другому столітті нашої ери {{Не перекладено|Теон Смирнський|Теон Смирнський|ru|Теон Смирнский}} використовував терміни '''сторона і діаметр''' для опису знаменника і чисельника цієї послідовності.<ref>{{cite web|url=http://books.google.com/books?id=drnY3Vjix3kC&pg=PA112|title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books|accessdate=2013-01-28}}</ref>

Ці наближення можуть бути отримані з [[Ланцюговий дріб|ланцюгового дробу]] <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>:
: <math>\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}.</math>
Скінчена частина ланцюгового дробу дає апроксимацію у вигляді чисел Пелля.
Наприклад,
: <math>\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.</math>

Як писав [[Дональд Кнут|Кнут]] (1994), факт апроксимації числами Пелля <math>\scriptstyle\sqrt 2</math> дозволяє використовувати їх для раціонального наближення до правильного [[восьмикутник]]а з координатами вершин <math>(\pm P_i,\pm P_{i+1})</math> и <math>(\pm P_{i+1},\pm P_i)</math>.
Усі вершини цього восьмикутника однаково віддалені від центру і формують ''майже однакові'' кути. Водночас точки <math>(\pm(P_i+P_{i-1}),0)</math>, <math>(0,\pm(P_i+P_{i-1}))</math> и <math>(\pm P_i,\pm P_i)</math> формують восьмикутник, у якого вершини ''майже однаково'' віддалені від центру та мають однакові кути.

== Прості й квадрати ==
'''Простим числом Пелля''' називається число Пелля, що є також [[Просте число|простим]]. Кілька перших простих чисел Пелля
: 2, 5, 29, 5741, … ({{OEIS|id=A086383}})
Як і у випадку з числами Фібоначчі, число Пелля <math>P_n</math> може бути простим тільки якщо ''n'' просте.

Є всього три числа Пелля, які є квадратами, кубами та іншими вищими ступенями,&nbsp;— це 0, 1, і 169 = 13<sup>2</sup>.
<ref>Pethő (1992); Cohn (1996). Хоча [[числа Фібоначчі]] визначаються рекурентними формулами, дуже схожими на формули для чисел Пелля, Кон (Cohn) писав, що аналогічні результати для чисел Фібоначчі набагато складніше довести. Утім, їх довів у 2006 році [[Бюжо]] (Bugeaud).</ref>

Попри те, що серед чисел Пелля настільки мало квадратів та інших степенів, вони мають близький зв'язок із [[квадратне трикутне число|квадратними трикутними числами]].<ref>Sesskin (1962).</ref>
Ці числа виникають із наступної тотожності:
: <math>\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}.</math>
Ліва частина цієї тотожності дає [[квадратне число]], у той час як права частина дає [[трикутне число]], так що в результаті отримаємо квадратне трикутне число.

Сантана (Santana) і Діац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) довели іншу тотожність, що пов'язує числа Пелля з квадратами. Вони показали, що сума чисел Пелля до <math>P_{4n+1}</math> завжди є квадратом:
: <math>\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2.</math>
Наприклад, сума чисел Пелля до <math>P_5</math>, <math>0+1+2+5+12+29=49</math>, є квадратом числа <math>P_2+P_3=2+5=7</math>.

Числа <math>P_{2n}+P_{2n+1}</math>, які утворюють квадратні корені таких сум,
: 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … ({{OEIS|id=A002315}}), відомі як {{Не перекладено|Просте число Ньюмена—Шенкса—Вільямса|прості числа Ньюмена—Шенкса—Вільямса|ru|Простое число Ньюмена — Шэнкса — Уильямса}}.

== Піфагорові трійки ==
[[Файл:Pell right triangles.svg|thumb|300px|Прямокутні трикутники з майже рівними катетами і цілочисельними координатами, породжені числами Пелля.]]
 
Якщо [[прямокутний трикутник]] має сторони ''a'', ''b'', ''c'' (по [[Теорема Піфагора|теоремі Піфагора]]
''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>=''c''<sup>2</sup>), то (''a'',''b'',''c'') відомі як [[Числа Піфагора|піфагорові трійки]]. Мартін (Martin) (1875) писав, що числа Пелля можна застосувати для формування піфагорових трійок, в яких ''a'' і ''b'' відрізняються на одиницю, що відповідає майже рівнобедреному прямокутному трикутнику. Кожна така трійка має вигляд
: <math>(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}).</math>
Послідовність піфагорових трійок, отримана таким способом: (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

== Числа Пелля&nbsp;— Люка ==
'''Супутні числа Пелля''' або '''числа Пелля&nbsp;— Люка''' визначаються [[Лінійна рекурентна послідовність|лінійним рекурентним співвідношенням]]:
: <math>Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n>1\end{cases}</math>

Тобто, перші два числа в послідовності рівні 2, а всі інші формуються як сума подвоєного попереднього числа Пелля—Люка та попереднього до нього, або, що еквівалентно, як сума наступного та попереднього чисел Пелля.
Так, супутнім для 82 є число 29, і 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.

Супутні числа Пелля утворюють послідовність:
: [[2 (число)|2]], [[2 (число)|2]], [[6 (число)|6]], [[14 (число)|14]], [[34 (число)|34]], [[82 (число)|82]], [[198 (число)|198]], [[400 (число)|478]], … ({{OEIS|id=A002203}})

Супутні числа Пелля можна подати формулою:
: <math>Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.</math>

Усі ці числа парні, кожне з них є подвоєним чисельником у наближенні [[Раціональне число|раціональними числами]] до <math>\scriptstyle\sqrt 2</math>.

== Обчислення та зв'язки ==

Наступна таблиця дає декілька перших степенів [[Срібний перетин|срібного перетину]] <math>\delta=\delta_S=1+\sqrt2</math> і пов'язаного з ним <math>\bar{\delta}=1-\sqrt{2}</math>.
{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math>(1+\sqrt{2})^n</math>
! <math>(1-\sqrt{2})^n</math>
|-
| 0
| <math>1+0\sqrt{2}=1.0</math>
| <math>1-0\sqrt{2}=1.0</math>
|-
| 1
| <math>1+1\sqrt{2}=2.41421\ldots</math>
| <math>1-1\sqrt{2}=-0.41421\ldots</math>
|-
| 2
| <math>3+2\sqrt{2}=5.82842\ldots</math>
| <math>3-2\sqrt{2}=0.17157\ldots</math>
|-
| 3
| <math>7+5\sqrt{2}=14.07106\ldots</math>
| <math>7-5\sqrt{2}=-0.07106\ldots</math>
|-
| 4
| <math>17+12\sqrt{2}=33.97056\ldots</math>
| <math>17-12\sqrt{2}=0.02943\ldots</math>
|-
| 5
| <math>41+29\sqrt{2}=82.01219\ldots</math>
| <math>41-29\sqrt{2}=-0.01219\ldots</math>
|-
| 6
| <math>99+70\sqrt{2}=197.9949\ldots</math>
| <math>99-70\sqrt{2}=0.0050\ldots</math>
|-
| 7
| <math>239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots</math>
| <math>239-169\sqrt{2}=-0.00209\ldots</math>
|-
| 8
| <math>577+408\sqrt{2}=1153.99913\ldots</math>
| <math>577-408\sqrt{2}=0.00086\ldots</math>
|-
| 9
| <math>1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots</math>
| <math>1393-985\sqrt{2}=-0.00035\ldots</math>
|-
| 10
| <math>3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots</math>
| <math>3363-2378\sqrt{2}=0.00014\ldots</math>
|-
| 11
| <math>8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots</math>
| <math>8119-5741\sqrt{2}=-0.00006\ldots</math>
|-
| 12
| <math>19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots</math>
| <math>19601-13860\sqrt{2}=0.00002\ldots</math>
|}

Коефіцієнти являють собою половини супутніх чисел Пелля <math>H_n</math> і числа Пелля <math>P_n</math>, є невід'ємними розв'язками рівняння
<math>H^2-2P^2=\pm1</math>.

[[Квадратне трикутне число]]&nbsp;— це число <math>N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2</math>, яке є як <math>t\,</math> трикутним числом так і <math>s\,</math> квадратним. ''Майже рівнобедрені піфагорові трійки'' є цілими розв'язками
<math>a^2+b^2=c^2</math>, де <math>a+1=b</math>.

Наступна таблиця показує розкладання непарних <math>H_n</math> на дві майже однакові половинки, що дає квадратне трикутне число, коли n парне, і майже рівнобедрену піфагорову трійку, коли n непарне.

{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math> H_n </math>
! <math> P_n </math>
!t
!t+1
!s
|a
|b
|c
|-
|0
|1
|0
|0
|0
|0
|-
|1
|1
|1
|
|
|
|0
|1
|1
|-
|2
|3
|2
|1
|2
|1
|-
|3
|7
|5
|
|
|
|3
|4
|5
|-
|4
|17
|12
|8
|9
|6
|-
|5
|41
|29
|
|
|
|20
|21
|29
|-
|6
|99
|70
|49
|50
|35
|-
|7
|239
|169
|
|
|
|119
|120
|169
|-
|8
|577
|408
|288
|289
|204
|-
|9
|1393
|985
|
|
|
|696
|697
|985
|-
|10
|3363
|2378
|1681
|1682
|1189
|-
|11
|8119
|5741
|
|
|
|4059
|4060
|5741
|-
|12
|19601
|13860
|9800
|9801
|6930
|}

=== Визначення ===
Половини супутніх чисел Пелля <math>H_n</math> і числа Пелля <math>P_n</math>
можна отримати декількома еквівалентними шляхами:


''Піднесення до степеня'':

: <math>(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}</math>

: <math>(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.</math>

Звідки випливає:

: <math>H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.</math>
і
: <math>P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.</math>

''Парні рекурентні відношення'':

: <math>H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{cases}</math>
: <math>P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}</math>

або, в ''матричному вигляді'':

: <math>\begin{pmatrix} H_n \\ P_n  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n-1}  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0  \end{pmatrix}.</math>

Таким чином

: <math> \begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .</math>

=== Наближення ===

Різниця <math>H_n \,</math> і <math>P_n\sqrt2</math> дорівнює <math>(1-\sqrt2)^n \approx (-0.41421)^n</math>, що швидко наближається до нуля.

Таким чином
<math>(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2 </math> дуже близьке до <math>2H_n \, </math>.

Із цього спостереження випливає, що відношення цілих <math>\frac{H_n}{P_n}</math> швидко наближається до <math>\sqrt2 \,</math> у той час як <math>\frac{H_n}{H_{n-1}}\, </math> и <math>\frac{P_n}{P_{n-1}}\, </math> швидко наближається до <math>1+\sqrt2 \, </math>.

=== ''H''<sup>2</sup>&nbsp;&minus;&nbsp;2''P''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;±1 ===

Оскільки <math>\sqrt2</math> є ірраціональним, неможливо отримати <math>\frac{H}{P}=2\, </math>, тобто <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2}\, </math>.
Найкраще, що ми можемо отримати, це або <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2}\, </math> або <math>\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2} </math>.

Невід'ємними рішеннями <math>H^2-2P^2=1 \,</math> є пари <math>H_n,P_n</math> з [[Парність (математика)|парним]] n, і рішеннями <math>H^2-2P^2=-1 \,</math> є пари <math>H_n,P_n</math> з n непарним.

Щоб зрозуміти це, зауважимо

: <math>H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n)^2-2(H_n+P_n)^2=-(H_n^2-2P_n^2) \,</math>
так що, починаючи з <math>H_{0}^2-2P_{0}^2=1 \, </math> знак чергується (<math>1 , -1 </math>).
Зауважимо тепер, що кожне позитивне рішення можна отримати з рішення з меншим індексом завдяки рівності <math>(2P-H)^2-2(H-P)^2=-(H^2-2P^2) \,</math>.

=== Квадратні трикутні числа ===

Необхідну рівність <math>\frac{t(t+1)}{2}=s^2\,</math> еквівалентно <math>4t^2+4t+1=8s^2+1 \,</math>, що перетворюється в
<math>H^2=2P^2+1</math> при підстановці <math>H=2t+1</math> і <math>P=2s </math>. Звідси ''n''-м рішенням буде <math>t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}</math> і <math>s_n=\frac{P_{2n}}{2}.</math>

Зауважимо, що <math>t</math> і <math>t+1</math> [[Взаємно прості числа|взаємно прості]], так що <math>\frac{t(t+1)}{2}=s^2\,</math> можливо тільки тоді, коли вони є сусідніми цілими, одне&nbsp;— квадрат <math>H^2</math> й інше&nbsp;— подвоєний квадрат <math>2P^2</math>.

Оскільки ми знаємо всі рішення рівняння, ми отримуємо

: <math>t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases}</math>
і <math>s_n=H_nP_n\,</math>

{| class="wikitable"
|-
! <math> n </math>
! <math> H_n </math>
! <math> P_n </math>
!
!t
!t+1
!s
!
|a
|b
|c
|-
|0
|1
|0
|
|
|
|
|
|
|
|
|-
|1
|1
|1
|
|1
|2
|1
|
|1
|0
|1
|-
|2
|3
|2
|
|8
|9
|6
|
|3
|4
|5
|-
|3
|7
|5
|
|49
|50
|35
|
|21
|20
|29
|-
|4
|17
|12
|
|288
|289
|204
|
|119
|120
|169
|-
|5
|41
|29
|
|1681
|1682
|1189
|
|697
|696
|985
|-
|6
|99
|70
|
|9800
|9801
|6930
|
|4059
|4060
|5741
|}

=== Триплети Піфагора ===

Рівність <math>c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1</math> вірно тільки при <math>2c^2=4a^2+4a+2</math>, що перетворюється в <math>2P^2=H^2+1</math> при підстановці <math>H=2a+1 \mbox{ and } P=c </math>.
Тоді n-м рішенням є <math>a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}</math> і <math>c_n={P_{2n+1}}. \,</math>


Таблиця вище показує, що з точністю до порядку <math>a_n</math> і <math>b_n=a_n+1</math> дорівнює <math>H_nH_{n+1}</math> і <math>2P_nP_{n+1}</math> , в той час як <math>c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.</math>

== Див. також ==
* [[Рівняння Пелля]]

== Примітки ==
{{примітки}}

== Посилання ==

<div class="references-small" style="-moz-column-count:2; column-count:2;">
* {{cite journal
 | author = Bicknell, Marjorie
 | title = A primer on the Pell sequence and related sequences
 | url = https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1975-12_13_4/page/345
 | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
 | volume = 13
 | year = 1975
 | issue = 4
 | pages = 345–349
 | mr = 0387173 }}
* {{cite journal
 | author = Cohn, J. H. E.
 | title = Perfect Pell powers
 | journal = [[Glasgow Mathematical Journal]]
 | volume = 38
 | year = 1996
 | issue = 1
 | pages = 19–20
 | mr = 1373953 
 | doi = 10.1017/S0017089500031207}}
* {{cite journal
 | author = Dutka, Jacques
 | title = On square roots and their representations
 | url = https://archive.org/details/sim_archive-for-history-of-exact-sciences_1986_36_1/page/21
 | journal = [[Archive for History of Exact Sciences]]
 | volume = 36
 | issue = 1
 | year = 1986
 | pages = 21–39
 | doi = 10.1007/BF00357439
 | mr = 0863340 }}
* {{cite journal
 | author = Ercolano, Joseph
 | title = Matrix generators of Pell sequences
 | url = https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1979-02_17_1/page/71
 | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
 | volume = 17
 | year = 1979
 | issue = 1
 | pages = 71–77
 | mr = 0525602 }}
* {{cite journal
 | authorlink = László Filep
 | author = Filep, László
 | title = Pythagorean side and diagonal numbers
 | journal = [[Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis]]
 | volume = 15
 | year = 1999
 | pages = 1–7
 | url = http://www.emis.de/journals/AMAPN/vol15/filep.pdf}}
* {{cite journal
 | author = Horadam, A. F.
 | title = Pell identities
 | url = https://archive.org/details/sim_fibonacci-quarterly_1971-05_9_3/page/245
 | journal = [[Fibonacci Quarterly]]
 | volume = 9
 | year = 1971
 | issue = 3
 | pages = 245–252, 263
 | mr = 0308029 }}
* {{cite journal
 | author = Kilic, Emrah; Tasci, Dursun
 | title = The linear algebra of the Pell matrix
 | journal = [[Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana]], Tercera Serie
 | volume = 11
 | year = 2005
 | issue = 2
 | pages = 163–174
 | mr = 2207722 }}
* {{cite journal
 | author = Knorr, Wilbur
 | authorlink = Wilbur Knorr
 | title = Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation
 | journal = [[Archive for History of Exact Sciences]]
 | volume = 15
 | issue = 2
 | year = 1976
 | pages = 115–140
 | doi = 10.1007/BF00348496
 | mr = 0497462 }}
* {{cite journal
 | author = Knorr, Wilbur
 | authorlink = Wilbur Knorr
 | title = "Rational diameters" and the discovery of incommensurability
 | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1998-05_105_5/page/421
 | jstor = 3109803
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | volume = 105
 | issue = 5
 | pages = 421–429
 | year = 1998
 | doi = 10.2307/3109803}}
* {{cite journal
 | author = Knuth, Donald E.
 | authorlink = Дональд Кнут
 | title = Leaper graphs
 | url = https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1994-11_78_483/page/274
 | jstor = 3620202
 | journal = [[The Mathematical Gazette]]
 | volume = 78
 | issue = 483
 | year = 1994
 | pages = 274–297
 | doi = 10.2307/3620202
| arxiv=math.CO/9411240}}
* {{cite journal
 | author = [[Artemas Martin|Martin, Artemas]]
 | title = Rational right angled triangles nearly isosceles
 | journal = [[Annals of Mathematics|The Analyst]]
 | volume = 3
 | issue = 2
 | pages = 47–50
 | year = 1875
 | jstor = 2635906
 | doi = 10.2307/2635906}}
* {{cite conference
 | author = Pethő, A.
 | title = The Pell sequence contains only trivial perfect powers
 | booktitle = Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991)
 | publisher = Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland
 | date = 1992
 | pages = 561–568
 | mr = 1218218 }}
* {{cite journal
 | doi = 10.2307/2690427
 | author = Ridenhour, J. R.
 | title = Ladder approximations of irrational numbers
 | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1986-04_59_2/page/95
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | year = 1986
 | volume = 59
 | issue = 2
 | pages = 95–105
 | jstor = 2690427}}
* {{cite journal
 | author = Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L.
 | year = 2006
 | title = Some properties of sums involving Pell numbers
 | journal = [[Missouri Journal of Mathematical Sciences]]
 | volume = 18
 | issue = 1
 | url = http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.1/diazbar.pdf
 | accessdate = 25 травня 2015
 | archiveurl = https://web.archive.org/web/20070508133004/http://www.math-cs.cmsu.edu/~mjms/2006.1/diazbar.pdf
 | archivedate = 8 травня 2007
 | deadurl = yes
 }}
* {{cite journal
 | author = Sellers, James A.
 | title = Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers
 | year = 2002
 | journal = [[Journal of Integer Sequences]]
 | volume = 5
 | url = http://www.emis.de/journals/JIS/VOL5/Sellers/sellers4.pdf
 | mr = 1919941 }}
* {{cite journal
 | doi = 10.2307/2688551
 | author = Sesskin, Sam
 | title = A "converse" to Fermat's last theorem?
 | url = https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1962-09_35_4/page/215
 | journal = [[Mathematics Magazine]]
 | volume = 35
 | issue = 4
 | year = 1962
 | pages = 215–217
 | jstor=2688551}}
* {{cite journal
 | author = Thibaut, George
 | authorlink = George Thibaut
 | title = On the Súlvasútras
 | journal = [[Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal]]
 | volume = 44
 | pages = 227–275
 | year = 1875}}
* {{cite journal
 | author = Thompson, D'Arcy Wentworth
 | authorlink = D'Arcy Wentworth Thompson
 | title = III.—Excess and defect: or the little more and the little less
 | url = https://archive.org/details/sim_mind_1929-01_38_149/page/43
 | journal = [[Mind (journal)|Mind: New Series]]
 | year = 1929
 | volume = 38
 | issue = 149
 | pages = 43–55
 | jstor = 2249223}}
* {{cite journal
 | author = Vedova, G. C.
 | title = Notes on Theon of Smyrna
 | url = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1951-12_58_10/page/675
 | jstor = 2307978
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | year = 1951
 | volume = 58
 | issue = 10
 | pages = 675–683
 | doi = 10.2307/2307978}}
</div>

{{Класи натуральних чисел}}

[[Категорія:Теорія чисел]]