Перегляд вихідного коду сторінки Число Керол

'''Число Керол'''&nbsp;— [[Цілі числа|ціле число]] вигляду <math>4^n - 2^{n + 1} - 1</math>.

Еквівалентна форма <math>(2^n - 1)^2 - 2</math>.

Декілька перших чисел Керол:

: −1, 7, 47, 223, 959, 3967, {{Num|16127}}, {{Num|65023}}, {{Num|261119}}, {{Num|1046527}}&nbsp;— {{OEIS|A093112}}.

Числа Керол вперше вивчав Клетус Еммануель (Cletus Emmanuel), який назвав їх ім'ям своєї подруги&nbsp;— Керол Г. Кірнон (Carol G. Kirnon)<ref>[http://primes.utm.edu/bios/page.php?id=374 Cletus Emmanuel] at [[Prime Pages]].</ref><ref>[http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14584 Message to Yahoo primenumbers group] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110603214602/http://tech.groups.yahoo.com/group/primenumbers/message/14584 |date=2011-06-03 }} from Cletus Emmanuel.</ref>.

Для <math>n > 2</math> двійкове подання ''n'' -го числа Керол складається з <math>n - 2</math> послідовних одиниць, одного нуля і ще <math>n + 1</math> послідовних одиниць, або, в алгебричній формі,

: <math>\sum_{i \ne n + 2}^{2n} 2^{i - 1}.</math>

Таким чином, наприклад, 47 відповідає двійковий запис 101111, а 223&nbsp;— 11011111.

Різниця між 2''n''-им [[Число Мерсенна|простим числом Мерсенна]] та ''n''-им числом Керол дорівнює <math>2^{n + 1}</math>. Це дає ще один еквівалентний вираз для чисел Керол: <math>(2^{2n} - 1) - 2^{n + 1}</math>. Різниця між ''n''-им {{Нп|Число Кайні|числом Кайні|de|Kynea-Zahl}} та ''n''-им числом Керол дорівнює <math>2^{n +2}</math>.

Починаючи з 7, кожне третє число Керол ділиться на 7.

Отже, щоб число Керол було [[Просте число|простим]], його індекс ''n'' повинен відрізнятися від <math>3x + 2</math> для <math>x > 0</math>.

Перші кілька чисел Керол, які також є простими числами:

: 7, 47, 223, 3967, {{Num|16127}}&nbsp;— {{OEIS|A091516}}.

На липень 2007 року найбільше відоме число Керол, яке є простим,&nbsp;— число для <math>n = 253987</math>, що має {{Num|152916}} знаків<ref>[http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=80384 253987-ме число Керол] на [[Prime Pages]].</ref><ref>[http://harvey563.tripod.com/Carol_Kynea.txt Carol Primes and Kynea Primes] by Steven Harvey.</ref>. У травні 2007 року його знайшов Клетус Еммануель, скориставшись програмами MultiSieve та PrimeFormGW. Це 40-ве просте число Керол.

7-ме число Керол (5-те просте число Керол)&nbsp;— 16127, записане у зворотному порядку, дає просте число<ref>{{Cite web|title=Prime Curios! 16127|url=https://t5k.org/curios/page.php?short=16127|website=t5k.org|accessdate=2023-12-04}}</ref>. Таке ж властивість має 12-те число Керол (7-ме просте число Керол)&nbsp;— 16769023<ref>{{Cite web|title=Prime Curios! 16769023|url=https://t5k.org/curios/page.php?short=16769023|website=t5k.org|accessdate=2023-12-04}}</ref>.

== Примітки ==
{{примітки|2}}

== Посилання ==
* {{MathWorld|urlname=Near-SquarePrime|title=Near-Square Prime}}
* [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=73109 Prime Database entry for Carol(226749)]
* [http://primes.utm.edu/primes/page.php?id=77385 Prime Database entry for Carol(248949)]
{{Класи натуральних чисел}}
{{Перекласти|de|Carol-Zahl}}
[[Категорія:Цілочисельні послідовності]]
[[Категорія:Теорія чисел]]
[[Категорія:Прості числа]]