Число Керол

Число Керол — ціле число вигляду $4^n-2^{n+1}-1$.

Еквівалентна форма $(2^n-1{)}^2-2$.

Декілька перших чисел Керол:

−1, 7, 47, 223, 959, 3967, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num, Шаблон:Num — Шаблон:OEIS.

Числа Керол вперше вивчав Клетус Еммануель (Cletus Emmanuel), який назвав їх ім'ям своєї подруги — Керол Г. Кірнон (Carol G. Kirnon).

Для $n>2$ двійкове подання n -го числа Керол складається з $n-2$ послідовних одиниць, одного нуля і ще $n+1$ послідовних одиниць, або, в алгебричній формі,

$\sum _{i\ne n+2}^{2n}{2}^{i-1}.$

Таким чином, наприклад, 47 відповідає двійковий запис 101111, а 223 — 11011111.

Різниця між 2n-им простим числом Мерсенна та n-им числом Керол дорівнює $2^{n+1}$. Це дає ще один еквівалентний вираз для чисел Керол: $(2^{2n}-1)-2^{n+1}$. Різниця між n-им Шаблон:Нп та n-им числом Керол дорівнює $2^{n+2}$.

Починаючи з 7, кожне третє число Керол ділиться на 7.

Отже, щоб число Керол було простим, його індекс n повинен відрізнятися від $3x+2$ для $x>0$.

Перші кілька чисел Керол, які також є простими числами:

7, 47, 223, 3967, Шаблон:Num — Шаблон:OEIS.

На липень 2007 року найбільше відоме число Керол, яке є простим, — число для $n=253987$, що має Шаблон:Num знаків. У травні 2007 року його знайшов Клетус Еммануель, скориставшись програмами MultiSieve та PrimeFormGW. Це 40-ве просте число Керол.

7-ме число Керол (5-те просте число Керол) — 16127, записане у зворотному порядку, дає просте число. Таке ж властивість має 12-те число Керол (7-ме просте число Керол) — 16769023.

Посилання

• Шаблон:MathWorld
• Prime Database entry for Carol(226749)
• Prime Database entry for Carol(248949)