Перегляд вихідного коду сторінки Центроїд трикутника

'''Центроїд трикутника''' (також '''барицентр трикутника''' і '''центр ваги трикутника)'''&nbsp;— точка перетину [[Медіана трикутника|медіан]] у [[трикутник]]у<ref>{{Книга
|автор = Е. Смирнова
|заголовок = Планиметрия: виды задач и методы их решений. Элективный курс для учащихся 9—11 классов
|посилання = https://books.google.com/books?id=RoZ0DgAAQBAJ&pg=PA165
|видавництво = Litres
|рік = 2017-09-05
|сторінки = 165
|сторінок = 417
|назва = 
|archivedate = 8 травня 2021
|archiveurl = https://web.archive.org/web/20210508185454/https://books.google.com/books?id=RoZ0DgAAQBAJ&pg=PA165
}}</ref> .

Центроїд традиційно позначається латинською буквою <math>M</math>. Центроїд трикутника належить до [[Чудові точки трикутника|чудових точок трикутника]] і його згадано в [[Енциклопедія центрів трикутника|енциклопедії центрів трикутника]] Кларка Кімберлінга, як точку X(2).

== Властивості ==

* Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
* Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує [[ортоцентр]] і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. [[лінія Ейлера]]).
* Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то [[Центр інерції|центр мас]] (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
* Якщо <math>M</math>&nbsp;— центроїд трикутника <math>ABC</math> то для будь-якої точки <math>O</math> справджується рівність
*: <math>\overrightarrow{OM}=\frac13(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})</math> .
* Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
* Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
* Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
* При ізогональному сполученні центроїд переходить у [[Точка Лемуана|точку Лемуана]] (в точку перетину трьох [[симедіана|симедіан]] трикутника).
* Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через [[Точки Аполлонія|точку Аполлонія]] і [[Точка Ферма|точку Торрічеллі]], що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
* Нехай <math>ABC</math>&nbsp;— трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника <math>ABC</math>, називається [[Коло Паррі|колом Паррі]] трикутника <math>ABC</math> .
* Три [[Чевіана|чевіани]], проведені через довільну точку <math>O</math> всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка <math>O</math> збігається з центроїдом{{Sfn|Зетель|1962|c=12}}.
* Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:

: <math>AB^2+BC^2+CA^2=3(GA^2+GB^2+GC^2)</math> .<ref>{{Harvtxt|Altshiller-Court|1925|pp=70–71}}</ref>

* Нехай <math>q_a</math>, <math>q_b</math> і <math>q_c</math>&nbsp;— відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють <math>a</math>, <math>b</math> і <math>c</math> . Тоді<ref name="Johnson">Johnson, Roger A., ''Advanced Euclidean Geometry'', Dover Publ. Co., 2007</ref> {{Rp|173}}

: <math> \frac{q_a}{q_b} = \frac ba,
\quad\frac{q_b}{q_c}=\frac cb,
\quad\frac{q_a}{q_c}=\frac ca</math>
: і
: <math>q_a\cdot a=q_b\cdot b=q_c\cdot c=\frac23S</math> ,
: де <math>S</math>&nbsp;— площа трикутника.

== Історія ==
Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще [[Архімед]].

== Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику ==

* '''Центроїд''' '''(барицентр''' або '''центр мас)''' довільного [[чотирикутник]]а лежить у точці перетину [[Середня лінія|середніх ліній]] чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.
* 
{{Теорема|Чотири відрізки, кожен з яких з'єднує вершину чотирикутника з центроїдом трикутника, утвореного іншими трьома вершинами, перетинаються в центрі ваги чотирикутника і діляться ним у відношенні 3:1, рахуючи від вершини.}}

* Якщо у вписаному в коло чотирикутнику провести діагональ, а в отримані два трикутники вписати два кола, потім зробити так само, провівши другу діагональ, тоді центроїди цих чотирьох трикутників лежатимуть на одному колі<ref name="Andreescu">{{Citation|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Bogdan|last2=Enescu|title=Mathematical Olympiad Treasures|chapter=2.3 Cyclic quads|chapter-url=https://books.google.com/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4305-8|pages=44–46, 50|mr=2025063|accessdate=8 травня 2021|archive-date=8 травня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210508185454/https://books.google.com/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44}}</ref>.
* В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, ''«центроїд площі»'' або центр мас його площі {{Math|''G<sub>a</sub>''}}, ''вершинний центроїд'' або центр мас чотирьох його вершин {{Math|''G<sub>v</sub>''}} і точка перетину його діагоналей {{Math|''P''}} колінеарні. Відстані між цими точками задає формула<ref>{{Citation|last=Bradley|first=Christopher|title=Three Centroids created by a Cyclic Quadrilateral|url=http://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf|year=2011|format=PDF|accessdate=8 травня 2021|archive-date=17 січня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210117063810/https://people.bath.ac.uk/masgcs/Article141.pdf}}</ref>

: <math>PG_a = \tfrac{4}{3}PG_v.</math>

== Див. також ==

* [[Центр інерції]]
* [[Ортоцентр]]
* [[Центр вписаного кола|Інцентр]]
* [[Чудові точки трикутника]]

== Примітки ==
{{Reflist}}

== Література ==

* {{Не перекладено|Понарін Яків Петрович|Понарин Я. П.|ru|Понарин, Яков Петрович}} Элементарная геометрия. В 2 т.&nbsp;— М.: МЦНМО, 2004.&nbsp;— С.&nbsp;80-81.&nbsp;— ISBN 5-94057-170-0.
* Дм. Ефремов. [https://web.archive.org/web/20050302151746/http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm Новая геометрия треугольника] 1902 год
* {{H|Зетель|1962|''Зетель С.И.'' Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.}}
* {{Citation|first1=Nathan|last1=Altshiller-Court|year=1925|lccn=52013504|title=College Geometry:  An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle|edition=2nd|publisher=[[Barnes & Noble]]|location=New York}}
[[Категорія:Геометрія трикутника]]
[[Категорія:Чудові точки трикутника]]
[[Категорія:Афінна геометрія]]