Центроїд трикутника

Центроїд трикутника (також барицентр трикутника і центр ваги трикутника) — точка перетину медіан у трикутнику .

Центроїд традиційно позначається латинською буквою $M$. Центроїд трикутника належить до чудових точок трикутника і його згадано в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга, як точку X(2).

Властивості

• Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
• Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
• Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
• Якщо $M$ — центроїд трикутника $ABC$ то для будь-якої точки $O$ справджується рівність

  $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ .

• Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
• Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
• Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
• При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
• Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
• Нехай $ABC$ — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника $ABC$, називається колом Паррі трикутника $ABC$ .
• Три чевіани, проведені через довільну точку $O$ всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка $O$ збігається з центроїдомШаблон:Sfn.
• Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:

$A{B}^2+B{C}^2+C{A}^2=3(G{A}^2+G{B}^2+G{C}^2)$ .

• Нехай $q_a$, $q_b$ і $q_c$ — відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють $a$, $b$ і $c$ . Тоді Шаблон:Rp

$\frac{q_a}{q_b}=\frac{b}{a},\frac{q_b}{q_c}=\frac{c}{b},\frac{q_a}{q_c}=\frac{c}{a}$

і

$q_a\cdot a=q_b\cdot b=q_c\cdot c=\frac{2}{3}S$ ,

де $S$ — площа трикутника.

Історія

Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.

Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику

• Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.

• Якщо у вписаному в коло чотирикутнику провести діагональ, а в отримані два трикутники вписати два кола, потім зробити так само, провівши другу діагональ, тоді центроїди цих чотирьох трикутників лежатимуть на одному колі.
• В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі Шаблон:Math, вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин Шаблон:Math і точка перетину його діагоналей Шаблон:Math колінеарні. Відстані між цими точками задає формула

$P{G}_a=\frac{4}{3}P{G}_v.$

Див. також

• Центр інерції
• Ортоцентр
• Інцентр
• Чудові точки трикутника

Література

• Шаблон:Не перекладено Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Шаблон:H
• Шаблон:Citation