Перегляд вихідного коду сторінки Формула повної ймовірності

{{Основи теорії ймовірностей}}
'''Формула повної ймовірності''' дозволяє обчислити [[ймовірність]] деякої [[випадкова подія|події]] через [[умовна ймовірність|умовні ймовірності]] цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез.

== Визначення ==
Нехай дано [[імовірнісний простір]] <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math>, і [[повна група подій]] <math>\{B_n\}_{n=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}</math>, таких що <math>\mathbb{P}(B_n) > 0\; \forall n</math>. Хай <math>A \in \mathcal{F}</math> подія, що нас цікавить. Тоді
: <math>\mathbb{P}(A) = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \mathbb{P}( A \mid B_n)\mathbb{P}(B_n)</math>.

== Зауваження ==
Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай <math>N</math>&nbsp;— [[випадкова величина]], що має [[розподіл]]
: <math>\mathbb{P}(N=n) = \mathbb{P}(B_n)</math>.
Тоді
: <math>\mathbb{P}(A) = \mathbb{E}\left[\mathbb{P}(A\mid N)\right]</math>,
тобто апріорна ймовірність події рівна [[математичне сподівання|середньому]] його апостеріорної ймовірності.

== Приклади ==

=== Приклад 1 ===
'''Задача''':

Припустимо, прогноз погоди показує, що завтра з ймовірністю 0.6 (60%) буде сонячна погода. Відповідно те, що погода буде дощовою, дорівнює 0.4 (так як сума імовірностей подій, що складають повну групу дорівнює одиниці, тобто 100 відсоткам).

Також в нас є деякі дані по прогнозу на післязавтра: Якщо завтра буде сонячно, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.7

P(D2 = сонячно | D1 = сонячно) = 0.7

Якщо завтра буде дощ, то ймовірність того, що післязавтра буде сонячно дорівнює 0.4

P(D2 = сонячно | D1 = дощ) = 0.4

Знайти ймовірність того, що післязавтра буде сонячно.

'''Розв'язок:'''

Необхідно знайти дві події:

1. ймовірність того що і завтра і післязавтра буде сонячно. Вирахуємо це по теоремі добутку залежних подій: P(D2 = сонячно | P(D1 = сонячно)) * P(D1 = сонячно) = 0.7*0.6 = 0.42

2. Ймовірність того що завтра буде дощ а післязавтра буде сонячно.

P(D2 = сонячно | P(D1 = дощ)) * P(D1 = дощ) = 0.4*0.4 = 0.16

Після цього, необхідно скласти ймовірності цих двох подій. В результаті отримаємо ймовірність сонячної погоди післязавтра рівною 58%

=== Приклад 2 ===
{{Сирий переклад|1=en|3=розділ|дата=лютий 2022}}

Припустимо, що дві різні фабрики виробляють [[Електрична лампа|електричні лампочки]]. Лампи фабрики ''X'' працюватимуть довше 5000 годин в 99% випадків, в той час як лампочки фабрики ''Y'' працюватимуть довше 5000 годин в 95% випадків. Відомо, що фабрика ''X'' поставляє 60% ламп, від загально доступної кількості, а фабрика Y поставляє решту 40% ламп. Який шанс, що придбана лампа працюватиме довше ніж 5000 годин?

Застосовуючи формулу повної ймовірності, маємо:

: <math>
\begin{align}
P(A) & = P(A\mid B_X) \cdot P(B_X) + P(A\mid B_Y) \cdot P(B_Y) \\[4pt]
& = {99 \over 100} \cdot {6 \over 10} + {95 \over 100} \cdot {4 \over 10} = {{594 + 380} \over 1000} = {974 \over 1000}
\end{align}
</math>

де
* <math>P(B_X)={6 \over 10}</math> — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою ''X'';
* <math>P(B_Y)={4 \over 10}</math> — імовірність, що придбана лампа була виготовлена фабрикою ''Y'';
* <math>P(A\mid B_X)={99 \over 100}</math> — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою ''X'' працюватиме більше ніж 5000 годин;
* <math>P(A\mid B_Y)={95 \over 100}</math> — імовірність що лампа, виготовлена фабрикою ''Y'' працюватиме більше ніж 5000 годин.

Таким чином існує імовірність в 97.4%, що кожна придбана лампа буде працювати більше ніж 5000 годин.

== Див. також ==
* [[Правило повного математичного сподівання]]
* [[Імовірність]]
* [[Умовна ймовірність]]
* [[Умовне математичне сподівання]]
* [[Теорема Баєса]]

== Джерела ==
* {{Гнєденко.Курс теорії ймовірностей}}
* {{Карташов.Імовірність процеси статистика}}
* {{Гіхман.Скороход.Ядренко}}
* ''Capinski, Marek, Kopp, Peter E.'' Measure, Integral and Probability.&nbsp;— Springer Verlag 2004.&nbsp;— ISBN 9781852337810
* ''Williams D.'' Probability with Martingales/&nbsp;— Cambridge University Press, 1991/&nbsp;— ISBN 0-521-40605-6

[[Категорія:Теорія ймовірностей]]
[[Категорія:Статистичні закони]]