Перегляд вихідного коду сторінки Формула Фаа ді Бруно

{{Числення|expanded=Диференціальне}}
'''Формула Фаа ді Бруно''' — [[Математика|математична]] [[тотожність]], що узагальнює [[Диференціювання складної функції|правило ланцюга]] до вищих похідних, названих на честь [[Франческо Фаа ді Бруно]], хоча він не був першим, хто заявив або довів цю формулу. У 1800 році, понад 50 років до Фаа ді Бруно, французький математик [[Луї Франсуа Антуан Арбогаст]] виклав формулу в підручнику з обчисленням <ref>{{Harvard citation|Arbogast|1800}}.</ref> вважаючи першим опублікованим посилання на цю тему. <ref>According to {{Harvtxt|Craik|2005|pp=120–122}}: see also the analysis of Arbogast's work by {{Harvtxt|Johnson|2002}}.</ref> 

Найвідоміша форма формули Фаа ді Бруно виглядає як 

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=\sum \frac{n!}{m_1!\,1!^{m_1}\,m_2!\,2!^{m_2}\,\cdots\,m_n!\,n!^{m_n}}\cdot f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot \prod_{j=1}^n\left(g^{(j)}(x)\right)^{m_j},</math>

де сума біжить по всім ''n''-[[Кортеж (інформатика)|кортежам]] невід’ємних цілих чисел (''m''<sub>1</sub>, ..., ''m''<sub>''n''</sub>), що задовольняють умові 

: <math>1\cdot m_1+2\cdot m_2+3\cdot m_3+\cdots+n\cdot m_n=n.</math>

Іноді, щоб надати йому пам’ятну картину, вона записується так, що коефіцієнти, що мають комбінаторне тлумачення, про які йде мова нижче, менш явні: 

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x))
=\sum \frac{n!}{m_1!\,m_2!\,\cdots\,m_n!}\cdot
f^{(m_1+\cdots+m_n)}(g(x))\cdot
\prod_{j=1}^n\left(\frac{g^{(j)}(x)}{j!}\right)^{m_j}.</math>

Поєднання доданків з однаковим значенням ''m''<sub>1</sub> + ''m''<sub>2</sub> + ... + m<sub>''n''</sub> = ''k'' і помічаючи, що ''m''<sub>''j''</sub> має дорівнювати нулю для ''j'' > n &#x2212; ''к'' +1 призводить до дещо простішої формули, вираженої в термінах [[Поліноми Белла|многочленів Белла]] ''B''<sub>''n'',''k''</sub> (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n'' &#x2212; ''k'' +1</sub>): 

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x))\cdot B_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots,g^{(n-k+1)}(x)\right).</math>

== Комбінаторна форма ==
Формула має "комбінаторну" форму: 

: <math>{d^n \over dx^n} f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(g(x))\cdot\prod_{B\in\pi}g^{(\left|B\right|)}(x)</math>

де 

* {{Pi}} проходить через безліч Π всіх [[Розбиття множини|розбиттів множини]] {1, ..., ''n'' }, 
* " ''B'' ∈ {{Pi}} " означає змінну ''B, що'' проходить через список усіх "блоків" розбиття {{Pi}}, і 
* |''А''| позначає кардинальність множини ''A'' (так що |{{Pi}}| - кількість блоків у розділі {{Pi}} а |''B''| - розмір блоку ''B''). 

== Приклад ==
Далі йде конкретне пояснення комбінаторної форми для {{Math|1=''n'' = 4}} випадку. 

: <math>
\begin{align}
(f\circ g)''''(x)
= {} & f''''(g(x))g'(x)^4
+ 6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^2 \\[8pt]
& {} +\; 3f''(g(x))g''(x)^2
+ 4f''(g(x))g'''(x)g'(x) \\[8pt]
& {} +\; f'(g(x))g''''(x).
\end{align}
</math>

Шаблон: 

: <math>
\begin{array}{cccccc}
 g'(x)^4 
& & \leftrightarrow & & 1+1+1+1 
& & \leftrightarrow & & f''''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1 
\\[12pt]
 g''(x)g'(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+1+1 
& & \leftrightarrow & & f'''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 6 
\\[12pt]
g''(x)^2 
& & \leftrightarrow & & 2+2 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 3 
\\[12pt]
g'''(x)g'(x) 
& & \leftrightarrow & & 3+1 
& & \leftrightarrow & & f''(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 4 
\\[12pt]
g''''(x) 
& & \leftrightarrow & & 4 
& & \leftrightarrow & & f'(g(x)) 
& & \leftrightarrow & & 1
\end{array}
</math>

Фактор <math>g''(x)g'(x)^2 </math> відповідає розбиттю 2 + 1 + 1 [[Цілі числа|цілого числа]] 4 очевидним чином. Фактор <math>f'''(g(x))</math> що йде з нею, відповідає тому, що в цьому розділі є ''три'' суми. Коефіцієнт 6, що відповідає цим факторам, відповідає тому, що існує рівно шість розбиттів множини з чотирьох членів, які розбивають його на одну частину розміром 2 та дві частини розміром 1. 

Аналогічно фактор <math>g''(x)^2 </math> у третьому рядку відповідає розділ 2 + 2 цілого числа 4, (4, оскільки ми знаходимо четверту похідну), тоді як <math>f''(g(x)) </math> відповідає тому, що існує ''дві'' суми (2 + 2) у тому розділі. Коефіцієнт 3 відповідає тому, що є <math>\tfrac{1}{2}\tbinom{4}{2}=3</math> способи розподілу 4 об'єктів на групи &nbsp; 2. Це ж поняття стосується і інших. 

Схема для запам'ятовування: 

: <math>\begin{align} & \frac{D^1(f\circ{}g)}{1!} & = \left(f^{(1)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!} \\[8pt]
& \frac{D^2(f\circ g)}{2!} & = \left(f^{(1)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & {} + \left(f^{(2)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{2!} \\[8pt]
& \frac{D^3(f\circ g)}{3!} & = \left(f^{(1)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(3)} }{3!} }{1!} & {} + \left(f^{(2)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!}\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & {} + \left(f^{(3)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{3!} \\[8pt]
& \frac{D^4(f\circ g)}{4!} & = \left(f^{(1)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(4)} }{4!} }{1!} & {} + \left(f^{(2)}\circ{}g\right)\left(\frac{\frac{g^{(1)} }{1!} }{1!}\frac{\frac{g^{(3)} }{3!} }{1!}+\frac{\frac{g^{(2)} }{2!}\frac{g^{(2)} }{2!} }{2!}\right) & {} + \left(f^{(3)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{2!}\frac{\frac{g^{(2)} }{2!} }{1!} & {} + \left(f^{(4)}\circ{}g\right)\frac{\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!}\frac{g^{(1)} }{1!} }{4!}
\end{align}</math>

== Комбінаторика коефіцієнтів Фаа ді Бруно ==
Ці '''коефіцієнти Фаа ді Бруно''' для розбиттів  мають "замкнену форму". Кількість [[Розбиття множини|робиттів множини]] розміром ''n, що'' відповідає [[Розбиття числа|розбиттю числа]] 

: <math>\displaystyle n=\underbrace{1+\cdots+1}_{m_1}
\,+\, \underbrace{2+\cdots+2}_{m_2} 
\,+\, \underbrace{3+\cdots+3}_{m_3}+\cdots</math>

цілого числа ''n'' дорівнює 

: <math>\frac{n!}{m_1!\,m_2!\,m_3!\,\cdots 1!^{m_1}\,2!^{m_2}\,3!^{m_3}\,\cdots}.</math>

Ці коефіцієнти виникають і в [[Поліноми Белла|поліномах Белла]], які мають відношення до дослідження [[ Сукупний |кумулянтів]]. 

== Варіації ==

=== Версія з багатьма змінними  ===
Нехай ''y'' = ''g'' (''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>). Тоді виконується наступна ідентичність незалежно від того, чи є всі ''n'' змінних різними, або всі є однаковими, або ж розділені на кілька розрізнених класів нерозрізнювальних змінних (якщо це здається неясним, дивись зрозумілий приклад нижче): <ref>{{Cite journal|last=Hardy|first=Michael|year=2006|title=Combinatorics of Partial Derivatives|url=http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r1.html|journal=Electronic Journal of Combinatorics|volume=13|issue=1|pages=R1|accessdate=7 липня 2020|archive-date=24 лютого 2012|archive-url=https://web.archive.org/web/20120224193201/http://www.combinatorics.org/Volume_13/Abstracts/v13i1r1.html}}</ref> 

: <math>{\partial^n \over \partial x_1 \cdots \partial x_n}f(y)
= \sum_{\pi\in\Pi} f^{(\left|\pi\right|)}(y)\cdot\prod_{B\in\pi}
{\partial^{\left|B\right|}y \over \prod_{j\in B} \partial x_j}</math>

де (як вище) 

* {{Pi}} пробігає по всій множині Π всіх [[Розбиття множини|розбиттів множини]] {1, ..., ''n'' },
* "''B'' ∈ {{Pi}}" означає змінну ''B, що'' проходить через список усіх "блоків" розділу {{Pi}}, і 
* |''А''| позначає кардинальність множини ''A'' (так що |{{Pi}}| - кількість блоків у розділі {{Pi}} а |''B''| - розмір блоку ''B'' ). 

Більш загальні версії стосуються випадків, коли всі функції мають значення векторного та навіть [[Банахів простір|банахового простору]]. У цьому випадку потрібно розглянути [[Похідна Фреше|похідну Фреше]] або [[Похідна Гато|похідну Гато]] . 

; Приклад 

П'ять членів у наступному виразі очевидним чином відповідають п'яти розділам множини {1, 2, 3}, і в кожному випадку порядок похідної ''f'' - кількість частин у розділі: 

: <math>
\begin{align}
{\partial^3 \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3}f(y)
= {} & f'(y){\partial^3 y \over \partial x_1\, \partial x_2\, \partial x_3} \\[10pt]
& {} + f''(y) \left( {\partial y \over \partial x_1}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_2\, \partial x_3}
+{\partial y \over \partial x_2}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_3}
+ {\partial y \over \partial x_3}
\cdot{\partial^2 y \over \partial x_1\, \partial x_2}\right) \\[10pt]
& {} + f'''(y) {\partial y \over \partial x_1}
\cdot{\partial y \over \partial x_2}
\cdot{\partial y \over \partial x_3}.
\end{align}
</math>

Якщо три змінні не відрізняються одна від одної, то три з п'яти вищезазначених доданків також не відрізняються один від одного, і тоді ми маємо класичну формулу для однієї змінної. 

=== Офіційна версія серії живлення ===
Припустимо <math>f(x)=\sum_{n=0}^\infty {a_n} x^n</math> і <math>g(x)=\sum_{n=0}^\infty {b_n} x^n</math> є [[Формальний степеневий ряд|формальними степеневими рядами]] та <math>b_0 = 0</math> . 

Потім композиція <math>f \circ g</math> знову формальний силовий ряд, 

: <math>f(g(x))=\sum_{n=0}^\infty{c_n}x^n,</math>

де ''c''<sub>0</sub> = ''a''<sub>0,</sub> а інший коефіцієнт ''c''<sub>''n''</sub> для ''n'' ≥ 1 можна виразити у вигляді суми за [[Композиція (комбінаторика)|композиціями]] ''n'' або як еквівалентної суми за[[Розбиття числа|розбиттями]] ''n'': 

: <math>c_{n} = \sum_{\mathbf{i}\in \mathcal{C}_{n}} a_{k} b_{i_{1}} b_{i_{2}} \cdots b_{i_{k}}, </math>

де 

: <math>\mathcal{C}_{n}=\{(i_1,i_2,\dots,i_k)\,:\ 1 \le k \le n,\ i_1+i_2+ \cdots + i_k=n\}</math>

набір композицій ''n'' з ''k,'' що позначає кількість деталей, 

або 

: <math>c_{n} = \sum_{k=1}^{n} a_{k} \sum_{\mathbf{\pi}\in \mathcal{P}_{n,k}} \binom{k}{\pi_{1},\pi_{2}, ..., \pi_{n}} b_{1}^{\pi_{1}} b_{2}^{\pi_{2}}\cdots b_{n}^{\pi_{n}}, </math>

де 

: <math>\mathcal{P}_{n,k}=\{(\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_n)\,:\ \pi_1+\pi_2+ \cdots + \pi_n=k,\ \pi_{1}\cdot 1+\pi_{2}\cdot 2+ \cdots + \pi_{n}\cdot n = n \}</math>

- це набір розділів ''n'' на ''k'' частин у формі частоти частин. 

Перша форма отримується вибором коефіцієнта ''x''<sup>''n''</sup> в <math>(b_{1}x+b_{2}x^2+ \cdots)^{k} </math> "шляхом огляду", а друга форма потім отримується шляхом збирання подібних доданків або, альтернативно, шляхом застосування [[Теорема мультинома|мультиноміальних коефіцієнтів]]. 

Особливий випадок ''f'' (''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>, ''g'' (''x'') = ∑<sub>''n'' ≥ 1</sub> ''a''<sub>''n''</sub>/''n'' ! ''x''<sup>''n''</sup> дає [[ Експоненціальна формула |експоненціальну формулу]] . Особливий випадок ''f'' (''x'') = 1/(1&#x2212; ''x''), ''g''(''x'') = ∑<sub>''n''≥1</sub>(-''a''<sub>''n''</sub>) ''x''<sup>''n''</sup> дає вираз для [[Обернене число|оберненого]] формального ряду степеней ∑<sub>''n'' ≥ 0</sub> ''a''<sub>''n''</sub> ''x''<sup>''n''</sup> у випадку ''a''<sub>0</sub> = 1. 

Стенлі <ref>See the "compositional formula" in Chapter 5 of {{Cite book
|url=http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/
|title=Enumerative Combinatorics
|last=Stanley
|first=Richard P.
|year=1999
|publisher=Cambridge University Press
|isbn=978-0-521-55309-4
|accessdate=7 липня 2020
|archive-date=5 жовтня 2008
|archive-url=https://web.archive.org/web/20081005112920/http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/
}}</ref> надає версію для експоненціальних силових рядів. Для [[Формальний степеневий ряд|формального степеневого ряду]]  

: <math>f(x)=\sum_n {\frac{a_n}{n!}}x^n,</math>

маємо ''n''-похідну у 0: 

: <math>f^{(n)}(0)=a_n. </math>

Це не слід тлумачити як значення функції, оскільки цей ряд суто формальні; у цьому контексті немає такого поняття, як збіжність чи розбіжність. 

: <math>g(x)=\sum_{n=0}^\infty {\frac{b_n}{n!}} x^n</math>

і 

: <math>f(x)=\sum_{n=1}^\infty {\frac{a_n}{n!}} x^n</math>

і 

: <math>g(f(x))=h(x)=\sum_{n=0}^\infty{\frac{c_n}{n!}}x^n,</math>

тоді коефіцієнт ''c''<sub>''n''</sub> (що є ''n''-тою похідною від ''h,'' взята у точці 0, якщо ми маємо справу з збіжними рядами, а не формальними рядами потужності) задається 

: <math>c_n=\sum_{\pi=\left\{B_1,\ldots,B_k\right\}} a_{\left|B_1\right|}\cdots a_{\left|B_k\right|} b_k</math>

де {{Pi}} проходить через безліч усіх розділів множини {1, ..., ''n''} і ''B''<sub>1</sub>, . . ., ''B''<sub>''k''</sub> - блоки розділу {{Pi}}, та | ''B''<sub>''j''</sub> | - кількість членів ''j-''го блоку, для  ''j'' = 1, ..., ''к'' . 

Цей варіант формули особливо добре підходить для цілей [[Комбінаторика|комбінаторики]] . 

Ми також можемо записати враховуючи  наведенні вище позначення 

: <math>g(f(x)) = b_0+ \sum_{n=1}^\infty \frac{\sum_{k=1}^n b_k B_{n,k}(a_1,\ldots,a_{n-k+1})}{n!} x^n,</math>

де ''B''<sub>''n'',''k''</sub> (''a'' <sub>1</sub>, ..., ''a''<sub>''n'' &#x2212; ''k'' +1</sub>)- [[поліноми Белла]] . 

=== Особливий випадок ===
Якщо ''f'' (''x'') = ''e''<sup>''x''</sup>, то всі похідні ''f'' є однаковими і є фактором, спільним для кожного члена. У випадку, коли ''g'' ( ''x'' ) є твірною функцією кумулянтів, тоді ''f'' (''g'' (''x'')) - є [[Твірна функція моментів|твірною функцією моментів]], а многочлен у різних похідних ''g'' - це многочлен, який виражає [[Момент (математика)|моменти]] як функції [[ Сукупний |кумулянтів]] . 

== Примітки ==
{{Reflist|2}}

== Список літератури ==

=== Історичні дослідження та нариси ===

* {{Citation|last=Brigaglia|first=Aldo|editor-last=Giacardi|editor-first=Livia|contribution=L'Opera Matematica|title=Francesco Faà di Bruno. Ricerca scientifica insegnamento e divulgazione|place=[[Torino]]|language=Italian|publisher=Deputazione Subalpina di Storia Patria|year=2004|series=Studi e fonti per la storia dell'Università di Torino|volume=XII|pages=111–172}}. "''The mathematical work''" is an essay on the mathematical activity, describing both the research and teaching activity of Francesco Faà di Bruno.
* {{Citation|first=Alex D. D.|last=Craik|title=Prehistory of Faà di Bruno's Formula|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=112|date=February 2005|pages=217–234|number=2|jstor=30037410|doi=10.2307/30037410|mr=2121322|zbl=1088.01008}}.
* {{Citation|last=Johnson|first=Warren P.|title=The Curious History of Faà di Bruno's Formula|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=109|number=3|pages=217–234|date=March 2002|url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Johnson217-234.pdf|jstor=2695352|doi=10.2307/2695352|mr=1903577|zbl=1024.01010|accessdate=7 липня 2020|archive-date=11 квітня 2021|archive-url=https://web.archive.org/web/20210411165135/https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Ford/Johnson217-234.pdf}}.

=== Науково-дослідні роботи ===

* {{Citation|first=L. F. A.|last=Arbogast|author-link=Louis François Antoine Arbogast|title=Du calcul des derivations|trans_title=On the calculus of derivatives|year=1800|language=French|publisher=Levrault|place=Strasbourg|url=https://books.google.com/books?id=YoPq8uCy5Y8C|pages=xxiii+404|accessdate=7 липня 2020|archive-date=16 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716212550/https://books.google.com/books?id=YoPq8uCy5Y8C}} , Повністю вільно доступні з [[Google Книги|книг Google]] . 
* {{Citation|first=F.|last=Faà di Bruno|author-link=Francesco Faà di Bruno|title=Sullo sviluppo delle funzioni|trans_title=On the development of the functions|language=Italian|journal=Annali di Scienze Matematiche e Fisiche|lccn=06036680|volume=6|year=1855|pages=479–480|url=https://books.google.com/books?id=ddE3AAAAMAAJ&pg=PA479|accessdate=7 липня 2020|archive-date=29 квітня 2016|archive-url=https://web.archive.org/web/20160429073931/https://books.google.com/books?id=ddE3AAAAMAAJ&pg=PA479}}  . Цілком вільно доступні з [[Google Книги|книг Google]] . Добре відомий документ, де Франческо Фаа ді Бруно представляє дві версії формули, яка тепер носить його ім'я, опублікована в журналі, заснованому [[ Барнаба Тортоліні |Барнабою Тортоліні]] . 
* {{Citation|first=F.|last=Faà di Bruno|title=Note sur une nouvelle formule de calcul differentiel|trans_title=On a new formula of differential calculus|language=French|journal=[[The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics]]|volume=1|year=1857|pages=359–360|url=https://books.google.com/books?id=7BELAAAAYAAJ&pg=PA359|accessdate=7 липня 2020|archive-date=2 серпня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200802211444/https://books.google.com/books?id=7BELAAAAYAAJ&pg=PA359}}  . Цілком вільно доступні з [[Google Книги|книг Google]] . 
* {{Citation|first=Francesco|last=Faà di Bruno|title=Théorie générale de l'élimination|trans_title=General elimination theory|year=1859|language=French|publisher=Leiber et Faraguet|place=Paris|url=https://books.google.com/books?id=MZ0KAAAAYAAJ|pages=x+224|accessdate=7 липня 2020|archive-date=2 серпня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200802210109/https://books.google.com/books?id=MZ0KAAAAYAAJ}}  . Цілком вільно доступні з [[Google Книги|книг Google]] . 
* Фландрія, Харлі (2001) "Від Форда до Фаа", Американський математичний щомісячник 108 (6): 558–61 {{DOI|10.2307/2695713}}   
* {{Citation|last=Fraenkel|first=L. E.|title=Formulae for high derivatives of composite functions|journal=[[Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society]]|volume=83|number=2|pages=159–165|year=1978|doi=10.1017/S0305004100054402|mr=0486377|zbl=0388.46032}}  . 
* {{Citation|last=Krantz|year=2002|zbl=1015.26030|mr=1916029|url=https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC|pages=xiv+205|edition=Second|series=Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher|publisher=[[Birkhäuser Verlag]]|first=Steven G.|place=Boston|title=A Primer of Real Analytic Functions|author2-link=Harold R. Parks|first2=Harold R.|last2=Parks|author-link=Steven G. Krantz|isbn=978-0-8176-4264-8|accessdate=7 липня 2020|archive-date=16 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716212553/https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC}} <bdi> {{Citation|last=Krantz|year=2002|zbl=1015.26030|mr=1916029|url=https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC|pages=xiv+205|edition=Second|series=Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher|publisher=[[Birkhäuser Verlag]]|first=Steven G.|place=Boston|title=A Primer of Real Analytic Functions|author2-link=Harold R. Parks|first2=Harold R.|last2=Parks|author-link=Steven G. Krantz|isbn=978-0-8176-4264-8|accessdate=7 липня 2020|archive-date=16 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716212553/https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC}} </bdi> {{Citation|last=Krantz|year=2002|zbl=1015.26030|mr=1916029|url=https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC|pages=xiv+205|edition=Second|series=Birkhäuser Advanced Texts - Basler Lehrbücher|publisher=[[Birkhäuser Verlag]]|first=Steven G.|place=Boston|title=A Primer of Real Analytic Functions|author2-link=Harold R. Parks|first2=Harold R.|last2=Parks|author-link=Steven G. Krantz|isbn=978-0-8176-4264-8|accessdate=7 липня 2020|archive-date=16 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200716212553/https://books.google.com/books?id=i4vw2STJl2QC}} 
* {{Citation|last=Porteous|first=Ian R.|author-link=Ian Robertson Porteous|title=Geometric Differentiation|place=Cambridge|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2001|edition=Second|chapter=Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula|chapter-url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA83|pages=83–85  <!-- | pages = xvi+333 -->|url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC|mr=1871900|zbl=1013.53001|isbn=978-0-521-00264-6|accessdate=7 липня 2020|archive-date=17 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200717002837/https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC}} <bdi> {{Citation|last=Porteous|first=Ian R.|author-link=Ian Robertson Porteous|title=Geometric Differentiation|place=Cambridge|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2001|edition=Second|chapter=Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula|chapter-url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA83|pages=83–85  <!-- | pages = xvi+333 -->|url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC|mr=1871900|zbl=1013.53001|isbn=978-0-521-00264-6|accessdate=7 липня 2020|archive-date=17 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200717002837/https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC}} </bdi> {{Citation|last=Porteous|first=Ian R.|author-link=Ian Robertson Porteous|title=Geometric Differentiation|place=Cambridge|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2001|edition=Second|chapter=Paragraph 4.3: Faà di Bruno's formula|chapter-url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC&pg=PA83|pages=83–85  <!-- | pages = xvi+333 -->|url=https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC|mr=1871900|zbl=1013.53001|isbn=978-0-521-00264-6|accessdate=7 липня 2020|archive-date=17 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200717002837/https://books.google.com/books?id=BNrW0UJ_UFcC}}  . 
* {{Citation|last=T. A.|first=(Tiburce Abadie, J. F. C.)|title=Sur la différentiation des fonctions de fonctions|trans_title=On the derivation of functions|language=French|journal=[[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale]]|series=Série 1|volume=9|pages=119–125|year=1850|url=http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__119_1|accessdate=7 липня 2020|archive-date=10 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200710215900/http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1850_1_9__119_1}} , доступний у [http://www.numdam.org NUMDAM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20021217085400/http://www.numdam.org/ |date=17 грудня 2002 }} . Цей документ, згідно з {{Harvtxt|Johnson|2002}}    є одним із попередників {{Harvnb|Faà di Bruno|1855}} : зауважте, що автор підписується лише як "ТА", а віднесення до JFC Тібурса Абаді знову належить Джонсону. 
* {{Citation|last=A.|first=(Tiburce Abadie, J. F. C.)|title=Sur la différentiation des fonctions de fonctions. Séries de Burmann, de Lagrange, de Wronski|trans_title=On the derivation of functions. Burmann, Lagrange and Wronski series.|language=French|journal=[[Nouvelles Annales de Mathématiques|Nouvelles annales de mathématiques, journal des candidats aux écoles polytechnique et normale]]|series=Série 1|volume=11|pages=376–383|year=1852|url=http://www.numdam.org/item?id=NAM_1852_1_11__376_1|accessdate=7 липня 2020|archive-date=9 липня 2020|archive-url=https://web.archive.org/web/20200709030229/http://www.numdam.org/item/?id=NAM_1852_1_11__376_1}} , доступний у [http://www.numdam.org NUMDAM] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20021217085400/http://www.numdam.org/ |date=17 грудня 2002 }} . Цей документ, згідно з {{Harvtxt|Johnson|2002}}    є одним із попередників {{Harvnb|Faà di Bruno|1855}} : зауважте, що автор підписується лише як "А.", а віднесення до JFC Tiburce Abadie знову належить Джонсону. 

== Зовнішні посилання ==
* {{MathWorld|urlname=FaadiBrunosFormula}}

[[Категорія:Теореми в математичному аналізі]]
[[Категорія:Нумераційна комбінаторика]]
[[Категорія:Диференціальна алгебра]]
[[Категорія:Диференціальне числення]]
[[Категорія:Сторінки з неперевіреними перекладами]]