Перегляд вихідного коду сторінки Флуктуативно-дисипативна теорема

'''Флуктуативно-дисипативна теорема''' — співвідношення між величиною [[флуктуація|флуктуацій]] в [[Термодинамічна система|термодинамічній системі]] й узагальненим відгуком системи на зовнішнє збурення. 

Флуктуативно-дисипативна теорема встановлює зв'язок<ref>Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.:Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8</ref> між середньо-квадратичним відхиленням фізичної величини <math>x</math>, <math> x^2 </math> та дисипативними властивостями середовища:
:<math> \langle x^2 \rangle = \frac{\hbar}{\pi} \int_0^\infty \alpha^{\prime\prime}(\omega) \text{cth} \, \left (\frac{\hbar \omega}{2k_BT} \right ) d\omega </math>, 

де <math> \alpha^{\prime\prime} </math> - уявна частина [[узагальнена сприйнятливість|узагальненої сприйнятливості]], <math> \hbar </math> - [[зведена стала Планка]], <math> \omega </math> - частота, <math> k_B </math> - [[стала Больцмана]], T - [[температура]].

== Фізична природа ==
Флуктуаційно-дисипативна теорема є математичним узагальненням того факту, що при флуктуаціях відбуваються ті ж процеси, що й при зовнішньому збуренні системи. Флуктуації та наслідки зовнішнього збурення затухають (дисипують) схожим чином. Наприклад, при проходженні [[електричний струм|електричного струму]] в [[напівпровідник]]у виділяється тепло - це дисипативний процес. В напівпровіднику можуть також виникнути флуктуації концентрації [[носії заряду|носіїв заряду]]. Для виникнення таких флуктуацій необхідна енергія, яка надходить від теплових коливань [[кристалічна ґратка|кристалічної ґратки]]. При розсмоктуванні флуктуацій відбуваються ті ж процеси дисипації енергії, що й при проходженні струму. Як наслідок, енергія повертається кристалічній ґратці. 

== Класичний випадок ==
При високій температурі, коли <math> k_BT \gg \hbar \omega </math> для спектральної компоненти середньо-квадратичного відхилення справедлива простіша формула:
:<math> \langle x^2 \rangle_\omega = \frac{2k_BT}{\omega} \alpha^{\prime\prime} </math>, 

яка виконується не лише у квантовому випадку, а й при класичному розгляді. 

Якщо <math> k_BT \gg \hbar \omega </math> справедливо для всього спектру флуктуацій, то:
:<math> \langle x^2 \rangle = k_B T \alpha(0) \,</math>, 

тобто величина флуктуацій зв'язана із статичним значенням функції відгуку. 

== Приклади ==
Прикладом флуктуативно-дисипативної теореми є [[співвідношення Ейнштейна]]:
:<math> D = k_B T \mu \, </math>, 

яке зв'язує [[коефіцієнт дифузії]] D та [[Рухливість носіїв заряду|рухливість]] <math> \mu </math>.

Флуктуативно-дисипативну теорему сформулювали {{li|Герберт Каллен|text=Каллен|Q=Q1608008}} та {{li|Теодор Велтон|text=Велтон|Q=Q2418738}} у 1951 році.

=== Формула Найквіста ===
В 1928 р. Джон Б. Джонсон виявив, а [[Гаррі Найквіст]] пояснив явище [[тепловий шум|теплового шуму]]. При відсутності струму, що протікає через електричний опір, середня квадратична напруга залежить від опору <math>R</math>, <math>k_BT</math> та ширини частотного діапазону вимірювань <math>\Delta\nu</math> :

<div align="center"> <math> \langle V^2 \rangle = 4Rk_BT\Delta\nu </math>. </div>

==== Висновок ====
В електричних провідниках найбільш стійкими флуктуаціями виявляються такі, що призводять до виникнення [[Стояча хвиля|стоячих хвиль]]. Число стоячих електромагнітних хвиль з частотою від <math>\nu</math> до <math>\nu + d\nu</math> в провіднику довжиною <math>L</math> з врахуванням поляризації рівне <math>dn(\nu) = 2 \cdot \frac{2Ld\nu}{c}</math>. Будемо вважати, що на кожну стоячу хвилю приходиться енергія <math>k_BT</math>, що відповідає енергії гармонічного осцилятора. Тоді енергія стоячих хвиль з частотою від <math>\nu</math> до <math>\nu + d\nu</math> буде <math>dE(\nu)=4 \cdot \frac{L}{c} d\nu k_BT</math>. Потужність на одиницю довжини кола дорівнює <math>dW = \frac{dE(\nu)}{\frac{L}{c}} = 4k_BTd\nu</math>. Вся енергія флуктуаційних струмів знову переходить в тепло на опорі. Втрата потужності на одиниці довжини провідника з опором <math>R</math> по закону Джоуля-Ленца дорівнює <math>\frac{dW(\nu)}{d\nu}=\frac{\langle {V^2} \rangle (\nu)}{R}</math>, де <math>\langle V^2 \rangle</math> - середній квадрат флуктуаційної ЕРС для хвиль з частотою <math>\nu</math>. Отримуємо [[формула Найквіста|формулу Найквіста]]<ref>''Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А.'' Курс статистической физики. - М., Высшая школа, 1969. - c. 189</ref>:

<div align="center"> <math>\langle V^2 \rangle = 4Rk_BT\Delta\nu</math>. </div>

== Примітки ==
<references/>

{{Physics-stub}}

[[Категорія:Кінетика]]
[[Категорія:Фізичні теореми]]