Перегляд вихідного коду сторінки Фактор-група

{{Теорія груп|expanded=Basics}}
'''Фактор-група'''<ref>{{Cite web |url=https://e2u.org.ua/s?w=фактор-група&dicts=all&highlight=on&filter_lines=on |title=Термін у словниках |accessdate=4 квітня 2022 |archive-date=16 квітня 2021 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210416204154/https://e2u.org.ua/s?w=фактор-група&dicts=all&highlight=on&filter_lines=on }}</ref>&nbsp;— в [[теорія груп|теорії груп]], [[група (математика)|група]] [[клас еквівалентності|класів еквівалентності]] відносно деякого [[відношення еквівалентності]]. Тобто, [[фактор-множина]], що має властивості групи.

== Визначення ==

Нехай <math>G</math>&nbsp;— група, і <math>H</math>&nbsp;— її [[нормальна підгрупа]], тобто для довільного <math>a\in G</math> його [[клас суміжності групи|класи суміжності]] збігаються:
: <math>\ aH=Ha</math>

Тоді на класах суміжності <math>H</math> в <math>G</math> можна ввести множення:
: <math>\ (aH)(bH)=abH</math>

Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів у класах суміжності, тобто якщо <math>aH=a'H</math> і <math>bH=b'H</math>, то <math>abH=a'b'H</math>. Воно визначає [[Алгебрична структура|структуру групи]] на множині класів суміжності, а одержана група називається фактор-групою <math>G</math> по <math>H</math>.

Фактор-група позначається <math>G/H</math>.

== Властивості ==

* '''Теорема про гомоморфізм:''' Для довільного [[гомоморфізм]]у <math>\varphi:G\to K</math>
:: <math>G / {\mathrm Ker}\, \varphi \cong \varphi (G)</math>,
: тобто фактор-група <math>G</math> за ядром <math>{\mathrm Ker} \varphi</math> [[ізоморфізм|ізоморфна]] її образу <math>\varphi (G)</math> в <math>K</math>.
* Відображення <math>a \mapsto aH</math> задає природний [[гомоморфізм груп|гомоморфізм]] <math>G \to G/H</math>.
* [[Порядок (теорія груп)|Порядок]] <math>G/H</math> рівний [[індекс підгрупи|індексу підгрупи]] <math>[G:H]</math>. У випадку скінченної групи <math>G</math> він рівний <math>|G|/|H|</math>.
* Якщо <math>G</math> [[абелева група|абелева]], [[нільпотентна група|нільпотентна]], [[циклічна група|циклічна]] або [[скінченнопороджена група|скінченнопороджена]], то і <math>G/H</math> буде мати такі ж властивості.
* <math>G/G</math> ізоморфна тривіальній групі (<math>\{e\}</math>), <math>G/{e}</math> ізоморфна <math>G</math>.

== Приклади ==
* Нехай <math>G = \Z, \; H = 2\Z</math>, тоді <math>G/H</math> ізоморфна <math>\Z_2</math>.
* Нехай <math>G = \mathbf{UT}_n</math> група [[невироджена матриця|невироджених]] [[Трикутна матриця|верхньотрикутних матриць]], <math>H = \mathbf{SUT}_n</math> група верхніх [[Трикутна матриця|унітрикутних матриць]], тоді <math>G/H</math> ізоморфна групі [[діагональна матриця|діагональних матриць]].

== Див. також ==
* [[Теорема про гомоморфізми]]
* [[Теореми про ізоморфізми]]
* [[Фактор-кільце]]
* [[Фактор-простір]]

== Література ==
; Українською

* {{книга
|автор        = [[Гаврилків Володимир Михайлович|Гаврилків В. М.]]
|назва        = Елементи теорії груп та теорії кілець
|рік          = 2023
|видавництво  = Голіней
|місто        = {{Comment|І.-Ф. |Івано-Франківськ}}
|сторінок     = 153
}}
* {{книга
 |автор          = Ганюшкін О. Г., Безущак О. О.
 |назва          = Теорія груп: Навчальний посібник для студентів механіко–математичного факультету
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2018/03/group_l.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = ВПЦ "Київський університет"
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 
 |ref            =
}}
* {{книга
 |автор          = Курдаченко Л. А., [[Кириченко Володимир Васильович|Кириченко В. В.]], Семко М. М.
 |заголовок      = Вибрані розділи алгебри та теорії чисел
 |посилання      = https://mechmat.knu.ua/wp-content/uploads/2020/03/posibnyk-kyrychenko.pdf
 |місце          = Київ
 |видавництво    = Ін-т математики НАН України
 |рік            = 2005
 |сторінок       = 208
 |isbn           = 966-337-036-X
 |ref            = 
}}

; Іншими мовами
* {{Курош.Теорія груп}}
* {{Винберг.Курс алгебры}}
* {{Rotman.An Introduction to the Theory of Groups}}

{{math-stub}}

{{ВП-портали|Математика}}
[[Категорія:Теорія груп]]
[[Категорія:Фактор-структури]]