Перегляд вихідного коду сторінки Узагальнений власний вектор

{{Short description|Вектор, що задовольняє деяким з критеріїв власного вектора}}

У [[лінійна алгебра|лінійній алгебрі]], '''узагальнений власний вектор''' матриці <math>A</math> розміру <math>n\times n</math> це [[вектор (математика)|вектор]], що задовольняє певним критеріям, слабкішим ніж у випадку (звичайного) [[власний вектор|власного вектора]].<ref name=":0">{{harvtxt|Bronson|1970|p=189}}</ref>

Нехай <math>V</math> буде <math>n</math>-вимірним [[векторний простір|векторним простором]]; нехай <math>\phi</math> це [[лінійне відображення]] з {{math|''L''(''V'')}}, множини всіх лінійних відображень з <math>V</math> на себе; і нехай <math>A</math> буде матричним представленням <math>\phi</math> щодо певного впорядкованого [[Базис (математика)|базису]].

Не завжди існує повний набір з <math>n</math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] власних векторів <math>A,</math> які формують повний базис для <math>V</math>. Тобто, матриця <math>A</math> може бути [[діагоналізовна матриця|недіагоналізовною]].<ref name=":7">{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=310}}</ref><ref name=":1">{{harvtxt|Nering|1970|p=118}}</ref> Це трапляється коли [[Власні вектори та власні значення#алгебрична кратність|алгебрична кратність]] хоча б одного [[власне значення|власного значення]] <math>\lambda_i</math> більша ніж його [[Власні вектори та власні значення#геометрична кратність|геометрична кратність]] ([[ядро матриці|ступінь виродженості]] матриці <math>(A-\lambda_i I)</math>, або вимірність її [[ядро матриці|нульового простору]]). У такому разі, <math>\lambda_i</math> називається [[дефектна матриця|дефектним власним значенням]], а <math>A</math> називається [[дефектна матриця|дефектною матрицею]].<ref name=":6">{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=316}}</ref>

Узагальнений власний вектор <math>x_i</math>, що відповідає <math>\lambda_i</math>, разом із матрицею <math>(A-\lambda_i I)</math> породжує жорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для [[інваріантний підпростір|інваріантного підпростору]] <math>V</math>.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=319}}</ref><ref name=":8">{{harvtxt|Bronson|1970|pp=194–195}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=311}}</ref>

Використовуючи узагальнені власні вектори, множину лінійно незалежних власних векторів <math>A</math> можна розширити, якщо необхідно, до повного базису <math>V</math>.<ref name=":2">{{harvtxt|Bronson|1970|p=196}}</ref>  Цей базис можна використати для побудови ''майже діагональної матриці'' <math>J</math> у [[Жорданова нормальна форма|жордановій нормальній формі]], [[Подібні матриці|подібну]] до <math>A</math>, що корисно для обчислення певних [[матрична функція|матричних функцій]] від <math>A</math>.<ref name=":0"/> Матриця <math>J</math> також корисна для розв'язання [[Звичайні диференціальні рівняння|систем лінійних диференціальних рівнянь]] <math>\mathbf x' = A \mathbf x,</math> де <math>A</math> має бути діагоналізовною.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=316–318}}</ref><ref name=":1"/>

Розмірність узагальненого власного простору відповідного заданому власному значеню <math>\lambda</math> збігається з алгебричною кратністю <math>\lambda</math>.<ref name=":2"/>

== Огляд і означення ==
Існує декілька тотожних способів означити '''звичайний в-вектор'''.<ref>{{harvtxt|Anton|1987|pp=301–302}}</ref><ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=266}}</ref><ref name=":3">{{harvtxt|Burden|Faires|1993|p=401}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|pp=310–311}}</ref><ref>{{harvtxt|Harper|1976|p=58}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=225}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|pp=273,684}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=104}}</ref> Тут ми вважатимемо, що в-вектор <math>\mathbf u</math> пов'язаний з в-значенням <math>\lambda</math> матриці <math>A</math> розміру <math>n\times n</math> це ненульовий вектор, для якого <math>(A - \lambda I) \mathbf u = \mathbf 0</math>, де <math>I</math> це <math>n\times n</math> [[одинична матриця]] і <math>\mathbf 0</math> це нульовий вектор завдовжки <math>n</math>.<ref name=":3"/> Тобто, <math>\mathbf u</math> це вектор з [[ядро матриці|ядра]] [[лінійне відображення|відображення]] <math>(A - \lambda I)</math>. Якщо <math>A</math> має <math>n</math> лінійно незалежних в-векторів, тоді <math>A</math> подібна діагональній матриці <math>D</math>. Тобто, існує [[невироджена матриця|оборотна матриця]] <math>M</math> така, що <math>A</math> діагоналізовна через перетворення подібності <math>D = M^{-1}AM</math>.<ref name=":4">{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=270–274}}</ref><ref name=":5">{{harvtxt|Bronson|1970|pp=179–183}}</ref> Матриця <math>D</math> це [[спектральна матриця]] для <math>A</math>. Матрицю <math>M</math> називають [[модальна матриця|модальною матрицею]] для <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=181}}</ref> Діагоналізовні матриці становлять особливий інтерес завдяки тому, що їхні матричні функції легко обчислити.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=179}}</ref>

З іншого боку, якщо <math>A</math> не має <math>n</math> лінійно незалежних векторів, тоді <math>A</math> не діагоналізовна.<ref name=":4"/><ref name=":5"/>

'''Означення:'''  Вектор <math>\mathbf x_m</math> це '''узагальнений власний вектор рангу ''m''''' матриці <math>A</math>, що відповідає власному значенню <math>\lambda</math> якщо

:<math>(A - \lambda I)^m \mathbf x_m = \mathbf 0</math>

але

:<math>(A - \lambda I)^{m-1} \mathbf x_m \ne \mathbf 0.</math> <ref name=":0"/>

Очевидно, що узагальнений в-вектор рангу 1 це звичайний в-вектор.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=190,202}}</ref> Кожна <math>n\times n</math> матриця <math>A</math> має <math>n</math> лінійно незалежних узагальнених в-векторів, можна показати, що вона подібна до ''майже діагональної'' матриці <math>J</math> в жордановій нормальній формі.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189,203}}</ref> Тобто, існує оборотна матриця <math>M</math> така, що <math>J = M^{-1}AM</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=206–207}}</ref> Тут матриця <math>M</math> це [[узагальнена модальна матриця]] для <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=205}}</ref> Якщо <math>\lambda</math> це в-значення алгебричної кратності <math>\mu</math>, тоді <math>A</math> матиме <math>\mu</math> лінійно незалежних в-векторів відповідних <math>\lambda</math>.<ref name=":2"/> Ці результати надають безпосередній метод обчислення певних матричних функцій для <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189,209–215}}</ref>

Зауваження: для того, щоб матрицю <math>A</math> розміру <math>n \times n</math> над [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math> можна було виразити в жордановій нормальній формі, всі в-значення <math>A</math> повинні бути в <math>F</math>. Тобто, має бути можливим повністю факторизувати [[характеристичний поліном]] <math>f(x)</math> на лінійні множники. Наприклад, якщо <math>A</math> має дійсно-значимі елементи, то дякі її в-значення і компоненти в-векторів можуть бути [[Комплексне число|комплексні]].<ref name=":6"/><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=259}}</ref><ref name=":1"/>

Підпростір [[лінійна оболонка|натягнутий]] на всі узагальнені в-вектори для заданого <math> \lambda </math>, утворює '''узагальнений власний простір''' для <math> \lambda </math>.<ref name=":1"/>

==Приклади==
Наведемо декілька прикладів, щоб проілюструвати концепцію узагальнених в-векторів.

===Приклад 1===
Цей приклад просто, але ясно висвітлює ідею. Такий тип матриць можна часто зустріти в підручниках.<ref name=":1"/><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=261}}</ref><ref name=":7"/>
Покладемо
:<math> A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. </math>
Тут лише одне в-значення, <math> \lambda = 1</math>, і його алгебрична кратність ''m'' = 2.

Зауважте, що ця матриця в жордановій нормальній формі, але не [[діагональна матриця|діагональна]]. З цього ясно, що матриця недіагоналізовна. Через те, що наявний один наддіагональний елемент, маємо один узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1 (також можна помітити, що векторний простір <math> V </math> двовимірний, тому може бути не більше ніж один узагальнений вектор рангу більше ніж 1). Інакше, можна обчислити розмірність  ''p'' [[ядро матриці|нульового простору]] <math> A - \lambda I </math>, яка дорівнює 1, і отже існує ''m'' – ''p'' = 1 узагальнений в-вектор рангу більше ніж 1.

Звичайний в-вектор <math> \mathbf v_1=\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}</math> можна обчислити як зазвичай. Далі, використовуючи цей в-вектор, можна обчислити узагальнений в-вектор <math> \mathbf v_2 </math> розв'язавши

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_2 = \mathbf v_1. </math>
Це можна розписати як:
:<math> \left(\begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} - 1 \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right)\begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_{21} \\v_{22} \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix}.</math>
І спростити до:

:<math> v_{22}= 1. </math>

На елемент <math>v_{21}</math> немає обмежень. Виходить, що узагальнений в-вектор рангу 2 це <math> \mathbf v_2=\begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix}</math>, де ''a'' може бути будь-яким скалярним значенням. Зазвичай, найпростішим вибором буде ''a'' = 0.

Зауважте, що

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_2 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a \\1 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf v_1,</math>

тобто <math> \mathbf v_2 </math> це узагальнений в-вектор,

:<math> (A-\lambda I) \mathbf v_1 =  \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}0 \\0 \end{pmatrix} = \mathbf 0,</math>

отже <math> \mathbf v_1 </math> це звичайний в-вектор, і вектори <math> \mathbf v_1</math> та <math> \mathbf v_2</math> лінійно незалежні, а значить є базисом для векторного простору <math> V </math>.

===Приклад 2===
Цей приклад складніший ніж попередній. На жаль, вельми складно підібрати цікавий приклад маленького розміру.<ref>{{harvtxt|Nering|1970|pp=122,123}}</ref>
Матриця

:<math>A = \begin{pmatrix} 
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 2 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 2 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 2
\end{pmatrix}</math>

має такі в-значення <math> \lambda_1 = 1 </math> і <math> \lambda_2 = 2 </math> із алгебричними кратностями <math> \mu_1 = 2 </math> and <math> \mu_2 = 3 </math>, але їхні геометричні кратності<math> \gamma_1 = 1 </math> і <math> \gamma_2 = 1</math>.

Узагальнені в-простори <math>A</math> обчислено нижче.
<math> \mathbf x_1 </math> це звичайний в-вектор для <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf x_2 </math> це узагальнений в-вектор для <math> \lambda_1 </math>.
<math> \mathbf y_1 </math> це звичайний в-вектор для <math> \lambda_2 </math>.
<math> \mathbf y_2 </math> і <math> \mathbf y_3 </math> це узагальнені в-вектори для with <math> \lambda_2 </math>.

:<math>(A-1 I) \mathbf x_1
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ,</math>

:<math>(A - 1 I) \mathbf x_2
 = \begin{pmatrix} 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 1 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 1 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3
\end{pmatrix} = \mathbf x_1 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_1
 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf 0 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_2 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9
\end{pmatrix} = \mathbf y_1 ,</math>

:<math>(A - 2 I) \mathbf y_3 = \begin{pmatrix} 
-1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
3 & -1 & 0 & 0 & 0 \\
6 & 3 & 0 & 0 & 0 \\
10 & 6 & 3 & 0 & 0 \\
15 & 10 & 6 & 3 & 0
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0
\end{pmatrix} = \mathbf y_2 .</math>

В-вектори, звичайні й узагальнені, зібрані в базиси узагальнених в-просторів матриці <math>A</math>. Два ''ланцюги'' разом породжують простір 5-вимірних векторів стовпчиків.

:<math>
\left\{ \mathbf x_1, \mathbf x_2 \right\} =
\left\{
\begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ -9 \\ 9 \\ -3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 \\ -15 \\ 30 \\ -1 \\ -45 \end{pmatrix} 
\right\},
\left\{ \mathbf y_1, \mathbf y_2, \mathbf y_3 \right\} =
\left\{ 
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}
\right\}.
</math>

Майже діагональну в жордановій нормальній формі матрицю <math>J</math>, подібну до <math>A</math> отримуємо так:

:<math>
M =
\begin{pmatrix} \mathbf x_1 & \mathbf x_2 & \mathbf y_1 & \mathbf y_2 & \mathbf y_3 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 &  1 & 0 &0& 0 \\
3 &  -15 & 0 &0& 0 \\
-9 &  30 & 0 &0& 1 \\
9 &  -1 & 0 &3& -2 \\
-3 &  -45 & 9 &0& 0
\end{pmatrix},</math>
:<math>J = \begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 2
\end{pmatrix},
</math>

де <math>M</math> це [[узагальнена модальна матриця]] для <math>A</math>, стовпчики <math>M</math> складають канонічний базис для <math>A</math>, а <math>AM = MJ</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=189–209}}</ref>

== Жорданові ланцюги ==
'''Означення:'''  Нехай <math>\mathbf x_m</math> буде узагальненим в-вектором рангу ''m'', що відповідає в-значенню <math>\lambda</math> матриці <math>A.</math> '''Ланцюг''' утворений <math>\mathbf x_m</math> це множина векторів <math>\left\{ \mathbf x_m, \mathbf x_{m-1}, \dots , \mathbf x_1 \right\}</math> таким чином

{{NumBlk|::|
<math> \mathbf x_{m-1} = (A - \lambda I) \mathbf x_m, </math><br />
<math> \mathbf x_{m-2} = (A - \lambda I)^2 \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{m-1}, </math><br />
<math> \mathbf x_{m-3} = (A - \lambda I)^3 \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{m-2}, </math><br />
::<math> \vdots </math>
<math> \mathbf x_1 = (A - \lambda I)^{m-1} \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_2. </math>
|{{EquationRef|1}}}}

Тобто, маємо таку формулу,

{{NumBlk|::|<math> \mathbf x_j = (A - \lambda I)^{m-j} \mathbf x_m = (A - \lambda I) \mathbf x_{j+1} \qquad (j = 1, 2, \dots , m - 1). </math>|{{EquationRef|2}}}}

Вектор <math>\mathbf x_j </math>, обчислений за ({{EquationNote|2}}), це узагальнений в-вектор рангу ''j'', що відповідє в-значенню <math>\lambda</math>. Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.<ref name=":8"/>

== Канонічний базис ==
'''Означення:''' Множина з ''n'' лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це '''канонічний базис'''.

Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу ''m'' приналежить канонічному базису, з цього випливає, що ''m'' − 1 vectors <math> \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1, </math> які входять до жорданового ланцюга породженого <math> \mathbf x_m </math> також приналежать канонічному базису.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=196,197}}</ref>

Нехай <math> \lambda_i </math> буде в-значенням алгебричної кратності <math> \mu_i </math> матриці <math>A</math> розміру <math>n\times n.</math> Спочатку знайдімо [[ранг (лінійна алгебра)|ранги]] матриць <math> (A - \lambda_i I), (A - \lambda_i I)^2, \ldots , (A - \lambda_i I)^{m_i}. </math> Ціле число <math>m_i</math> визначається як перше ціле для якого <math> (A - \lambda_i I)^{m_i} </math> має ранг <math>n - \mu_i. </math>

Тепер визначимо

:<math> \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i).</math>

Змінна <math> \rho_k </math> позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу ''k'', що відповідають в-значенню <math> \lambda_i, </math> які з'являться в канонічному базисі для<math>A</math>. Зауважте, що

:<math> \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^0 = \operatorname{rank}(I) = n </math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=197,198}}</ref>

== Примітки ==
{{reflist|30em}}

== Література ==
* {{ citation | first1 = Howard | last1 = Anton | year = 1987 | isbn = 0-471-84819-0 | title = Elementary Linear Algebra | edition = 5th | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York }}
*{{Cite book
  | last = Axler
  | first = Sheldon
  | title = Linear Algebra Done Right
  | publisher = Springer
  | year = 1997
  | edition = 2nd
  | isbn = 978-0-387-98258-8}}
* {{citation | first1 = Raymond A. | last1 = Beauregard | first2 = John B. | last2 = Fraleigh | year = 1973 | isbn = 0-395-14017-X | title = A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields | publisher = [[Houghton Mifflin Co.]] | location = Boston | url-access = registration | url = https://archive.org/details/firstcourseinlin0000beau }}
* {{ citation | first1 = Richard | last1 = Bronson | year = 1970 | lccn = 70097490 | title = Matrix Methods:  An Introduction | publisher = [[Academic Press]] | location = New York }}
* {{citation | first1 = Richard L. | last1 = Burden | first2 = J. Douglas | last2 = Faires | year = 1993 | isbn = 0-534-93219-3 | title = Numerical Analysis | edition = 5th | publisher = [[Prindle, Weber and Schmidt]] | location = Boston | url = https://archive.org/details/numericalanalysi00burd }}
* {{ citation | first1 = Charles G. | last1 = Cullen | title = Matrices and Linear Transformations | location = Reading | publisher = [[Addison-Wesley]] | year = 1966 | lccn = 66021267 }}
* {{ citation | first1 = Joel N. | last1 = Franklin | title = Matrix Theory | location = Englewood Cliffs | publisher = [[Prentice-Hall]] | year = 1968 | lccn = 68016345 }}
* {{ citation | first1 = Gene H. | last1 = Golub | first2 = Charles F. | last2 = Van Loan | year = 1996 | isbn = 0-8018-5414-8 | title = Matrix Computations | edition = 3rd | publisher = [[Johns Hopkins University Press]] | location = Baltimore }}
* {{ citation | first1 = Charlie | last1 = Harper | year = 1976 | isbn = 0-13-487538-9 | title = Introduction to Mathematical Physics | publisher = [[Prentice-Hall]] | location = New Jersey }}
* {{ citation | first1 = I. N. | last1 = Herstein | year = 1964 | isbn = 978-1114541016 | title = Topics In Algebra | publisher = [[Blaisdell Publishing Company]] | location = Waltham }}
* {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}
* {{ citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | lccn = 76091646 }}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Теорія матриць]]